Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule o valor do limite. (Para tanto, utilize as propriedades de limites; utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize substituição de variável).
Passo 1
O enunciado pede o limite em duas variáveis
Este tipo de limite em
pode ser analisado mais facilmente mudando para coordenadas polares ou usando manipulações algébricas (racionalização). Vamos definir
e estudar o comportamento quando
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
equivale a
. Então a expressão vira
Passo 3
Para simplificar a fração, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 4
No denominador usamos
com
e
:
Logo a expressão se reduz a
Passo 5
Basta agora tomar o limite quando
:
Como o resultado não depende da direção de aproximação, o limite em
existe e vale
.
Resposta
O limite existe e é
.