Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule o valor do limite. (Para tanto, utilize as propriedades de limites; utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize substituição de variável).
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1
Este tipo de limite em R^2 pode ser analisado mais facilmente mudando para coordenadas polares ou usando manipulações algébricas (racionalização). Vamos definir r^2=x^2+y^2 e estudar o comportamento quando rto0.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e (x,y)to(0,0) equivale a rto0. Então a expressão vira
r^2raiz1+r^2-1

Passo 3

Para simplificar a fração, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz1+r^2+1:
r^2raiz1+r^2-1 ;times; raiz1+r^2+1raiz1+r^2+1 ;=; r^2,l(raiz1+r^2+1r)(raiz1+r^2-1)(raiz1+r^2+1)

Passo 4

No denominador usamos a^2-b^2=(a-b)(a+b) com a=raiz1+r^2 e b=1:
(raiz1+r^2-1)(raiz1+r^2+1) = (1+r^2)-1 = r^2
Logo a expressão se reduz a
r^2,l(raiz1+r^2+1r)r^2 =raiz1+r^2+1

Passo 5

Basta agora tomar o limite quando rto0:
limrto0l(raiz1+r^2+1r) =raiz1+0+1 =1+1 =2
Como o resultado não depende da direção de aproximação, o limite em (x,y)to(0,0) existe e vale 2.

Resposta

O limite existe e é 2.

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