Mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) 3 x^4 y4 x^6+y^3
Dica: Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando (x, y) (0,0) ao longo do eixo x, do eixo y, das retas y=m x, m in R^* (ou y=x, se for suficiente), da parábola y=x^2. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) 3x^4y4x^6+y^3
não existe, usando diferentes trajetórias de aproximação: eixos, retas y=mx e a parábola y=x^2. A ideia é encontrar pelo menos duas trajetórias que levem a valores diferentes.

Passo 2

Trajetórias sobre os eixos:
  • Para y=0: 3x^4cdot04x^6+0^3=0, logo
    limxto03x^4cdot04x^6=0
  • Para x=0: 3cdot0^4,y4cdot0^6+y^3=0, logo
    limyto00=0
Em ambas as direções sobre os eixos o valor tende a 0.

Passo 3

Trajetória sobre a reta y=mx com mneq0:
3x^4(mx)4x^6+(mx)^3 =3m,x^54x^6+m^3x^3 =3m,x^24x^3+m^3
Quando xto0 o denominador tende a m^3neq0, logo
limxto03m,x^24x^3+m^3=0

Passo 4

Trajetória sobre a parábola y=x^2:
3x^4(x^2)4x^6+(x^2)^3 =3x^64x^6+x^6 =3x^65x^6 =35
Portanto
limxto03x^4,x^24x^6+x^6=35

Passo 5

Obtivemos limites diferentes em duas trajetórias:
  • Sobre os eixos e retas y=mx: 0.
  • Sobre a parábola y=x^2: tfrac35.
Como 0neqtfrac35, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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