Mostre que os limites abaixo não existem.
Dica: Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
ao longo do eixo
, do eixo
, das retas
(ou
, se for suficiente), da parábola
. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
Dica: Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe, usando diferentes trajetórias de aproximação: eixos, retas
e a parábola
. A ideia é encontrar pelo menos duas trajetórias que levem a valores diferentes.
Passo 2
Trajetórias sobre os eixos:
- Para
: logo
- Para
: logo
Em ambas as direções sobre os eixos o valor tende a
.
Passo 3
Trajetória sobre a reta
com
:
Quando
o denominador tende a
, logo
Passo 4
Trajetória sobre a parábola
:
Portanto
Passo 5
Obtivemos limites diferentes em duas trajetórias:
- Sobre os eixos e retas
: . - Sobre a parábola
: .
Como
, o limite não pode existir.
Resposta
O limite não existe.