Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
x d yd x-2 y=x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A equação diferencial que temos é:
x d yd x - 2 y = x^2 y^3
Nosso objetivo aqui é classificar essa equação como de Primeira Ordem Linear ou do tipo Bernoulli e, em seguida, resolvê-la. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação linear e uma equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma geral:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Já a equação de Bernoulli tem a forma:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
Comparando com nossa equação:
x d yd x - 2 y = x^2 y^3
Podemos rearrumar para ficar mais claro:
d yd x - 2x y = x y^3
Aqui, vemos que há um termo y^3, que não está presente em uma equação linear. Portanto, nossa equação é do tipo Bernoulli, onde n = 3.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, vamos lembrar como resolver esse tipo de equação. A ideia é fazer uma substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear.
A substituição que usamos é:
v = y^1 - n
No nosso caso, n = 3, então:
v = y^1 - 3 = y^-2

Passo 4

Vamos derivar v em relação a x:
d vd x = dd x ( y^-2 ) = -2 y^-3 d yd x
Rearranjando para d yd x:
d yd x = -12 y^3 d vd x

Passo 5

Substituímos d yd x na equação original:
d yd x - 2x y = x y^3
Substituindo:
-12 y^3 d vd x - 2x y = x y^3
Multiplicando por -2 y^-3 para simplificar:
d vd x + 4x v = -2 x
Agora, temos uma equação linear na forma padrão para v.

Passo 6

Vamos resolver a equação linear para v:
d vd x + P(x) v = Q(x)
Onde:
P(x) = 4x, Q(x) = -2x
Primeiro, encontramos o fator integrante:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 4x dx = e^4 ln x = x^4

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x):
x^4 d vd x + x^4 cdot 4x v = x^4 cdot (-2x)
Simplificando:
x^4 d vd x + 4x^3 v = -2x^5
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) v:
dd x (x^4 v) = -2x^5

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral dd x (x^4 v) dx = integral -2x^5 dx
Isso nos dá:
x^4 v = -26 x^6 + C
Simplificando:
x^4 v = -13 x^6 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para v:
v = -13 x^2 + C x^-4
Lembrando que v = y^-2, então:
y^-2 = -13 x^2 + C x^-4

Passo 10

Finalmente, resolvemos para y:
y = ( -13 x^2 + C x^-4 )^-1/2
Podemos também escrever como:
y = 1raiz -13 x^2 + Cx^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1raiz -13 x^2 + Cx^4
Onde C é uma constante arbitrária.

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