Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A equação diferencial que temos é:
Nosso objetivo aqui é classificar essa equação como de Primeira Ordem Linear ou do tipo Bernoulli e, em seguida, resolvê-la. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação linear e uma equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma geral:
Já a equação de Bernoulli tem a forma:
Comparando com nossa equação:
Podemos rearrumar para ficar mais claro:
Aqui, vemos que há um termo
, que não está presente em uma equação linear. Portanto, nossa equação é do tipo Bernoulli, onde
.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, vamos lembrar como resolver esse tipo de equação. A ideia é fazer uma substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear.
A substituição que usamos é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Substituindo:
Multiplicando por
para simplificar:
Agora, temos uma equação linear na forma padrão para
.
Passo 6
Vamos resolver a equação linear para
:
Onde:
Primeiro, encontramos o fator integrante:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Simplificando:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos também escrever como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.