Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule o valor do limite. (Para tanto, utilize as propriedades de limites; utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize substituição de variável).
lim (x, y) (1,0) ln (1+y^2x^2+x y)

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(1,0)ln!l(1+y^2x^2+x,yr)
O conteúdo usado será limite em R^2, propriedades de funções contínuas e substituição direta.

Passo 2

Observe que a função interna
f(x,y)=1+y^2x^2+x,y
é bem definida e positiva num entorno de (1,0), pois o denominador não se anula ali. A função ln é contínua em (0,infty).

Passo 3

Pela continuidade de ln, temos
lim(x,y)to(1,0)ln!l(f(x,y)r) =ln!l(lim(x,y)to(1,0)f(x,y)r)

Passo 4

Calculemos o limite de f(x,y):
lim(x,y)to(1,0)(1+y^2)=1, lim(x,y)to(1,0)(x^2+x,y)=1,
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lim(x,y)to(1,0)f(x,y) =11=1
Portanto
lim(x,y)to(1,0)ln!l(1+y^2x^2+x,yr) =ln(1)=0

Resposta

0

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