Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e precisamos classificar se ela é linear de primeira ordem ou uma equação de Bernoulli. Para isso, vamos analisar a forma da equação e aplicar os métodos adequados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A equação diferencial dada é
. Comparando com a forma geral das equações lineares de primeira ordem:
vemos que o termo que multiplica
não é linear, mas sim
. Isso indica que a equação não é linear. Portanto, ela se enquadra como uma equação de Bernoulli.
Passo 3
As equações de Bernoulli têm a forma geral:
No nosso caso, temos
,
e
. Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Como
, temos:
Agora, precisamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão acima:
Então, temos a equação em termos de
:
Passo 6
Agora, essa é uma equação diferencial linear simples. Podemos integrar ambos os lados para encontrar
:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.