Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
d yd x+4 x y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a dydx + 4x y^2 = 0. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e precisamos classificar se ela é linear de primeira ordem ou uma equação de Bernoulli. Para isso, vamos analisar a forma da equação e aplicar os métodos adequados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A equação diferencial dada é dydx + 4x y^2 = 0. Comparando com a forma geral das equações lineares de primeira ordem:
dydx + P(x) y = Q(x)
vemos que o termo que multiplica y não é linear, mas sim y^2. Isso indica que a equação não é linear. Portanto, ela se enquadra como uma equação de Bernoulli.

Passo 3

As equações de Bernoulli têm a forma geral:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, temos P(x) = 0, Q(x) = 4x e n = 2. Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear.

Passo 4

Vamos fazer a substituição z = y^1 - n. Como n = 2, temos:
z = y^1 - 2 = y^-1
Agora, precisamos encontrar dzdx. Derivando ambos os lados em relação a x:
dzdx = -y^-2 dydx

Passo 5

Substituindo dydx da equação original na expressão acima:
dzdx = -y^-2 (-4x y^2) = 4x
Então, temos a equação em termos de z:
dzdx = 4x

Passo 6

Agora, essa é uma equação diferencial linear simples. Podemos integrar ambos os lados para encontrar z:
integral dzdx , dx = integral 4x , dx
Integrando:
z = 2x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que z = y^-1, temos:
y^-1 = 2x^2 + C
Resolvendo para y:
y = 12x^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12x^2 + C
onde C é uma constante arbitrária.

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