Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa classificar a equação diferencial dada como uma Equação Linear de Primeira Ordem ou uma Equação de Bernoulli, e depois resolvê-la. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre esses tipos de equações diferenciais e usar algumas técnicas de resolução passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Uma equação diferencial pode ser linear se ela pode ser escrita na forma:
Onde
e
são funções de
. Olhando para a nossa equação:
Veja que o lado direito tem
, que depende de
. Isso significa que não é uma equação linear, porque
deveria ser apenas uma função de
.
Então, vamos ver se é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
e
. Como temos essa potência de
, isso confirma que é uma Equação de Bernoulli.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma Equação de Bernoulli, vamos resolver! A maneira de resolver esse tipo de equação é fazer uma substituição que transforma a equação em uma linear.
A substituição que vamos usar é:
No nosso caso,
, então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos agora substituir
da nossa equação original na expressão que encontramos para
.
A equação original é:
Vamos rearranjar ela para expressar
:
Agora, substituímos isso na expressão para
:
Mas lembrando que
, podemos substituir
por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.