Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
d yd x+3 y=1y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa classificar a equação diferencial dada como uma Equação Linear de Primeira Ordem ou uma Equação de Bernoulli, e depois resolvê-la. A equação que temos é:
dydx + 3y = 1y^2
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre esses tipos de equações diferenciais e usar algumas técnicas de resolução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Uma equação diferencial pode ser linear se ela pode ser escrita na forma:
dydx + P(x)y = Q(x)
Onde P(x) e Q(x) são funções de x . Olhando para a nossa equação:
dydx + 3y = 1y^2
Veja que o lado direito tem 1y^2 , que depende de y . Isso significa que não é uma equação linear, porque Q(x) deveria ser apenas uma função de x .
Então, vamos ver se é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma:
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
Comparando com a nossa equação:
dydx + 3y = 1y^2
Aqui, Q(x) = 1 e n = -2 . Como temos essa potência de y , isso confirma que é uma Equação de Bernoulli.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma Equação de Bernoulli, vamos resolver! A maneira de resolver esse tipo de equação é fazer uma substituição que transforma a equação em uma linear.
A substituição que vamos usar é:
z = y^1 - n
No nosso caso, n = -2 , então:
z = y^1 - (-2) = y^3
Agora, precisamos encontrar a derivada de z em relação a x :
dzdx = 3y^2 dydx

Passo 4

Vamos agora substituir dydx da nossa equação original na expressão que encontramos para dzdx .
A equação original é:
dydx + 3y = 1y^2
Vamos rearranjar ela para expressar dydx :
dydx = 1y^2 - 3y
Agora, substituímos isso na expressão para dzdx :
dzdx = 3y^2 ( 1y^2 - 3y ) = 3(1 - 3y^3 )
Mas lembrando que z = y^3 , podemos substituir y^3 por z :
dzdx = 3(1 - 3z) = 3 - 9z

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de z :
dzdx + 9z = 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante mu(x) :
mu(x) = e^integral 9 , dx = e^9x
Multiplicamos toda a equação por mu(x) :
e^9x dzdx + 9e^9xz = 3e^9x
Isso simplifica para:
ddx ( e^9x z ) = 3e^9x

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^9x z ) dx = integral 3e^9x dx
Isso nos dá:
e^9x z = 39 e^9x + C Rightarrow e^9x z = 13 e^9x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos z :
z = 13 + Ce^-9x
Lembrando que z = y^3 , substituímos de volta:
y^3 = 13 + Ce^-9x

Passo 8

Finalmente, resolvemos para y :
y = ( 13 + Ce^-9x )^13

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ( 13 + C e^-9x )^13
Onde C é uma constante arbitrária.

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