Resolva as equações diferenciais de Bernoulli, transformando-as em uma equação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é:
Essa equação faz parte do estudo das equações diferenciais e, mais especificamente, das equações de Bernoulli. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação não linear em uma equação linear, que é mais fácil de resolver. Para isso, vamos seguir alguns passos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli, que é:
Dividindo todos os termos da equação original por
, temos:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição:
No nosso caso,
, então:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação linear em termos de
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Agora, vamos expressar
a partir da equação original para substituir na expressão acima.
Passo 5
Da equação reescrita:
Substituindo isso na expressão de
:
Simplificando:
Lembrando que
, então podemos substituir de volta:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 7
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando o lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
Finalmente, resolvendo para
:
Onde
é uma constante arbitrária.