Resolva as equações diferenciais de Bernoulli, transformando-as em uma equação linear.
x d yd x+y=y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é:
x d yd x + y = y^3
Essa equação faz parte do estudo das equações diferenciais e, mais especificamente, das equações de Bernoulli. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação não linear em uma equação linear, que é mais fácil de resolver. Para isso, vamos seguir alguns passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli, que é:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
Dividindo todos os termos da equação original por x, temos:
d yd x + 1x y = 1x y^3
Aqui, identificamos que P(x) = 1x, Q(x) = 1x e n = 3.

Passo 3

Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição:
v = y^1 - n
No nosso caso, n = 3, então:
v = y^1 - 3 = y^-2
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação linear em termos de v.

Passo 4

Vamos derivar v em relação a x:
d vd x = dd x ( y^-2 )
Usando a regra da cadeia:
d vd x = -2 y^-3 d yd x
Agora, vamos expressar d yd x a partir da equação original para substituir na expressão acima.

Passo 5

Da equação reescrita:
d yd x = 1x y^3 - 1x y
Substituindo isso na expressão de d vd x:
d vd x = -2 y^-3 ( 1x y^3 - 1x y )
Simplificando:
d vd x = -2 ( 1x - 1x y^-2 )
Lembrando que v = y^-2, então podemos substituir de volta:
d vd x = -2x + 2x v

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em termos de v:
d vd x - 2x v = -2x
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2

Passo 7

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante x^-2:
x^-2 d vd x - 2x^3 v = -2x^3
Isso simplifica para:
dd x ( x^-2 v ) = -2x^3
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
x^-2 v = integral -2x^3 dx
Integrando o lado direito:
x^-2 v = 1x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para v:
v = 1 + C x^2
Lembrando que v = y^-2, substituímos de volta:
y^-2 = 1 + C x^2

Resposta

Finalmente, resolvendo para y:
y = 1raiz1 + C x^2
Onde C é uma constante arbitrária.

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