Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para classificar e resolver. A equação é:
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é Linear de Primeira Ordem ou do tipo Bernoulli e, em seguida, aplicar o método adequado para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação. Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
Já a equação de Bernoulli é uma equação não linear que pode ser escrita como:
Comparando com a nossa equação:
Podemos reescrever dividindo todos os termos por
para facilitar a comparação:
Notamos que temos um termo
no lado direito, o que indica que
na forma de Bernoulli. Portanto, nossa equação é do tipo Bernoulli.
Passo 3
Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, usamos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição padrão é:
No nosso caso, como
, temos:
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos derivar ambos os lados:
Agora, substituímos
na equação original:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar toda a equação por
para simplificar:
Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na variável
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. A equação está na forma:
Onde:
O fator integrante (
) é dado por:
Passo 7
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Lembrando que
:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.