Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
x d yd x+y=y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para classificar e resolver. A equação é:
x d yd x + y = y^2
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é Linear de Primeira Ordem ou do tipo Bernoulli e, em seguida, aplicar o método adequado para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação. Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Já a equação de Bernoulli é uma equação não linear que pode ser escrita como:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
Comparando com a nossa equação:
x d yd x + y = y^2
Podemos reescrever dividindo todos os termos por x para facilitar a comparação:
d yd x + 1x y = 1x y^2
Notamos que temos um termo y^2 no lado direito, o que indica que n = 2 na forma de Bernoulli. Portanto, nossa equação é do tipo Bernoulli.

Passo 3

Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, usamos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição padrão é:
v = y^1 - n
No nosso caso, como n = 2, temos:
v = y^1 - 2 = y^-1
Agora, vamos expressar y em termos de v:
y = v^-1

Passo 4

Precisamos encontrar a derivada de y em relação a x. Vamos derivar ambos os lados:
d yd x = dd x (v^-1) = -v^-2 d vd x
Agora, substituímos d yd x na equação original:
d yd x + 1x y = 1x y^2
Substituindo:
- v^-2 d vd x + 1x v^-1 = 1x v^-2

Passo 5

Agora, vamos multiplicar toda a equação por v^2 para simplificar:
- d vd x + 1x v = 1x
Rearranjando:
d vd x - 1x v = -1x
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na variável v.

Passo 6

Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. A equação está na forma:
d vd x + P(x) v = Q(x)
Onde:
P(x) = -1x e Q(x) = -1x
O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1x dx = e^-ln |x| = 1x

Passo 7

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
1x d vd x - 1x^2 v = -1x^2
Isso simplifica para:
dd x ( vx ) = -1x^2

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral dd x ( vx ) dx = integral -1x^2 dx
Isso resulta em:
vx = 1x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por x para resolver para v:
v = 1 + C x
Lembrando que v = y^-1:
y^-1 = 1 + C x

Passo 10

Finalmente, resolvemos para y:
y = 11 + C x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 11 + C x
Onde C é uma constante arbitrária.

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