Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule o valor do limite. (Para tanto, utilize as propriedades de limites; utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize substituição de variável).
lim (x, y) (1,0) x y-y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Estamos calculando o limite de
xy - y(x-1)^2 + y^2
quando (x,y)to(1,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em duas variáveis, e vamos usar fatoração, substituição de variáveis e teste de caminhos para ver se o valor é único.

Passo 2

Observe que o numerador xy - y pode ser fatorado:
xy - y = y,(x-1)
Então a função fica
f(x,y) = y,(x-1)(x-1)^2 + y^2

Passo 3

Para simplificar a análise, faça a troca de variáveis
u = x - 1, v = y,
de modo que (x,y)to(1,0) fica (u,v)to(0,0) e
f(u,v) = u,vu^2+v^2

Passo 4

Teste o caminho v=0 (ou seja y=0). Substituindo em f(u,v):
f(u,0) = ucdot 0u^2+0^2 = 0
Logo, por essa direção, o limite vale 0.

Passo 5

Agora teste o caminho v = u (ou seja y = x-1). Substituindo:
f(u,u) = ucdot uu^2+u^2 = u^22u^2 = 12 (para uneq0)
Nesse caminho, o limite tende a tfrac12.

Passo 6

Como obtemos valores diferentes ( 0 e tfrac12) ao longo de dois caminhos, o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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