Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 1raiz[3]5 n^2+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty 1raiz[3]5 n^2+1
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries p e como comparar termos de séries para tirar conclusões sobre sua convergência.

Passo 2

Vamos começar analisando o termo geral da nossa série:
an = 1raiz[3]5 n^2+1
Para simplificar, observamos que, quando n é muito grande, o 5n^2 domina o +1, então podemos aproximar:
raiz[3]5 n^2 + 1 approx raiz[3]5n^2 = 5^1/3 n^2/3
Portanto, para n grande, nosso termo an se comporta como:
an approx 15^1/3 n^2/3

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série p conhecida:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que essa série converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, o expoente é p = 23, que é menor que 1.

Passo 4

Usando o Teste da Comparação, já que an approx 1n^2/3 e a série sum 1n^2/3 diverge, podemos concluir que nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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