Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries p e como comparar termos de séries para tirar conclusões sobre sua convergência.
Passo 2
Vamos começar analisando o termo geral da nossa série:
Para simplificar, observamos que, quando n é muito grande, o
domina o
, então podemos aproximar:
Portanto, para n grande, nosso termo
se comporta como:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série p conhecida:
Sabemos que essa série converge se
e diverge se
. No nosso caso, o expoente é
, que é menor que 1.
Passo 4
Usando o Teste da Comparação, já que
e a série
diverge, podemos concluir que nossa série original também diverge.
Resposta
A série diverge.