Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 1n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite para descobrir se a série sumn=1^infty 1n! converge ou diverge. Isso envolve entender séries infinitas e como podemos comparar uma série com outra que já sabemos se ela soma a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitos termos. Se não, ela diverge.

Passo 3

Agora, o Teste da Comparação nos ajuda a comparar a série que estamos analisando com outra série que já conhecemos o comportamento. Se a série que estamos estudando tem termos menores que uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.

Passo 4

Vamos escolher uma série com a qual possamos comparar a nossa. Uma boa escolha é a série geométrica sumn=1^infty 12^n, que sabemos que converge porque a razão entre os termos é menor que 1.

Passo 5

Observando os termos das duas séries:
1n! <= 12^n para todo n >= 4
Isso acontece porque o fatorial cresce muito mais rápido que a potência de 2. Por exemplo:
  • Para n = 4: 4! = 24 e 2^4 = 16, então 124 < 116
  • E assim por diante, os termos de 1n! ficam ainda menores.

Passo 6

Como 1n! é menor ou igual a 12^n para n >= 4 e sabemos que a série sumn=1^infty 12^n converge, pelo Teste da Comparação, a série sumn=1^infty 1n! também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n! converge.

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