Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Isso envolve entender séries infinitas e como podemos comparar uma série com outra que já sabemos se ela soma a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitos termos. Se não, ela diverge.
Passo 3
Agora, o Teste da Comparação nos ajuda a comparar a série que estamos analisando com outra série que já conhecemos o comportamento. Se a série que estamos estudando tem termos menores que uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Passo 4
Vamos escolher uma série com a qual possamos comparar a nossa. Uma boa escolha é a série geométrica
, que sabemos que converge porque a razão entre os termos é menor que 1.
Passo 5
Observando os termos das duas séries:
Isso acontece porque o fatorial cresce muito mais rápido que a potência de 2. Por exemplo:
- Para
: e , então - E assim por diante, os termos de
ficam ainda menores.
Passo 6
Como
é menor ou igual a
para
e sabemos que a série
converge, pelo Teste da Comparação, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.