(1,0 ponto)Resolva o PVI
x y^prime+y=raizx, y(4)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação dada é:
x y' + y = raizx, y(4) = 5
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeiro grau e o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeiro grau, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos toda a equação por x (supondo que x neq 0):
y' + 1x y = raizxx = x^-1/2
Agora, temos P(x) = 1x e Q(x) = x^-1/2.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação para que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto. A fórmula do fator integrante é:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Vamos calcular:
mu(x) = e^integral 1x , dx = e^ln|x| = x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = x:
x y' + y = raizx Rightarrow x cdot y' + y = raizx
Multiplicando:
x cdot y' + y = raizx
Note que isso já estava na forma original, confirmando que nosso fator integrante está correto.

Passo 5

Com o fator integrante, podemos reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto mu(x) y:
ddx(x y) = raizx
Agora, para encontrar y, a gente integra ambos os lados:
integral ddx(x y) , dx = integral raizx , dx
x y = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C

Passo 6

Agora, resolvemos para y:
y = 23 x^3/2 + Cx = 23 x^1/2 + Cx

Passo 7

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial y(4) = 5:
5 = 23 cdot 4^1/2 + C4
Calculando 4^1/2 = 2:
5 = 23 cdot 2 + C4 Rightarrow 5 = 43 + C4
Subtraindo 43 de ambos os lados:
5 - 43 = C4 Rightarrow 153 - 43 = C4 Rightarrow 113 = C4
Multiplicando ambos os lados por 4:
C = 443

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 23 raizx + 443 x

Exercícios relacionados