(1,0 ponto)Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação dada é:
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeiro grau e o método do fator integrante para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeiro grau, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
(supondo que
):
Agora, temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação para que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto. A fórmula do fator integrante é:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Multiplicando:
Note que isso já estava na forma original, confirmando que nosso fator integrante está correto.
Passo 5
Com o fator integrante, podemos reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto
:
Agora, para encontrar
, a gente integra ambos os lados:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Calculando
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Resposta
A solução do PVI é: