Em cada item, verifique se as retas dadas são concorrentes. Em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção destas retas.
r_{1}:(x, y, z)=(0,-3,-10)+t(1,2,-1), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,4,-1)+t(1,3,-2), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r_{1}:\,(x,y,z)=(0,-3,-10)+t\,(1,2,-1), \quad r_{2}:\,(x,y,z)=(0,4,-1)+s\,(1,3,-2).
Queremos saber se existe um ponto comum, ou seja, se há t,s\in\mathbb{R} tais que as coordenadas coincidam.

Passo 2

Igualamos as três coordenadas de r_{1}(t) e r_{2}(s), gerando o sistema
\begin{cases} 0 + t = 0 + s,\\\\ -3 + 2t = 4 + 3s,\\\\ -10 - t = -1 - 2s. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue
t = s.
Substituindo em -3 + 2t = 4 + 3s obtemos
-3 + 2t = 4 + 3t \quad\Longrightarrow\quad -3 - 4 = 3t - 2t \quad\Longrightarrow\quad t = -7.
Logo s = -7.

Passo 4

Testamos na terceira equação:
-10 - t = -1 - 2s \quad\Longrightarrow\quad -10 - (-7) = -1 - 2(-7) \quad\Longrightarrow\quad -3 = 13,
o que é absurdo. O sistema não admite solução simultânea.

Resposta

As retas não são concorrentes.

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