Determine as equações dos traços nos planos coordenados e esboce os traços em um sistema de coordenadas cartesianas.
x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2-z^{\wedge} 2=0

Passo 1

O enunciado pede os traços da superfície
x^2 + y^2 - z^2 = 0
nos planos coordenados z=0, y=0 e x=0, e em seguida esboçar cada um desses traços. O conteúdo envolve substituir a coordenada correspondente a zero e analisar as curvas resultantes em cada plano.

Passo 2

Traço no plano xy z=0. Substituindo z=0 em
x^2 + y^2 - z^2 = 0
vem
x^2 + y^2 = 0.
Como x^2\ge0 e y^2\ge0, a única solução é (x,y)=(0,0). Logo, o traço no plano xy é o ponto de origem.

Passo 3

Traço no plano xz y=0. Substituindo y=0 em
x^2 + y^2 - z^2 = 0
vem
x^2 - z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - z)(x + z) = 0.
Portanto, no plano xz os traços são as retas
x = z \quad\text{e}\quad x = -\,z.

Passo 4

Traço no plano yz x=0. Substituindo x=0 em
x^2 + y^2 - z^2 = 0
vem
y^2 - z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y - z)(y + z) = 0.
Logo, no plano yz os traços são as retas
y = z \quad\text{e}\quad y = -\,z.

Passo 5

Esboço dos traços:
  • No plano xy, apenas o ponto de origem.
  • No plano xz, duas retas pelo ponto (0,0) formando ângulos de 45^\circ com cada eixo: x=z e x=-z.
  • No plano yz, duas retas semelhantes de inclinação \pm45^\circ: y=z e y=-z.

Resposta

Em z=0:
x^2 + y^2 = 0,
traço degenerado no ponto (0,0).
Em y=0:
x^2 - z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=z \\ \text{e}\\ x=-z
no plano xz.
Em x=0:
y^2 - z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=z \\ \text{e}\\ y=-z
no plano yz.
O esboço consiste de um ponto na origem (plano xy) e de duas retas cruzadas a \pm45^\circ nos planos xz e yz.

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