Encontre a forma reduzida e identifique as seguintes cônicas e quádricas:
(b). y^{2}+2 z^{2}+2 \sqrt{3} y z=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica homogênea em y,z
y^{2}+2z^{2}+2\sqrt{3}\,y\,z=0
Como não há termos lineares nem constantes, é um par de retas passando pela origem. Para achar a forma reduzida, vamos fatorar ou diagonalizar esse polinômio de segundo grau em y,z.

Passo 2

Para fatorar, observe que toda solução satisfaz
\frac{y^2}{z^2}+2\sqrt{3}\,\frac{y}{z}+2=0.
Definindo k=\tfrac{y}{z}, isso vira a equação em k:
k^2+2\sqrt{3}\,k+2=0.

Passo 3

Resolvendo em k:
k=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot2}}{2} =\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{12-8}}{2} =\frac{-2\sqrt{3}\pm2}{2} =-\sqrt{3}\pm1.

Passo 4

Cada raiz dá uma reta y=k\,z. Logo as duas retas são
y=(-\sqrt{3}+1)\,z \quad\text{e}\quad y=(-\sqrt{3}-1)\,z,
ou, escrevendo em forma fatorada,
(y+(\sqrt{3}-1)z)\,(y+(\sqrt{3}+1)z)=0.

Resposta

As cônicas são duas retas reais:
y+(\sqrt{3}-1)\,z=0 \quad\text{e}\quad y+(\sqrt{3}+1)\,z=0.

Exercícios relacionados