Sejam r1 e r2 as retas
r1:lx=3+t y=-5 z=2+b t ; t in R e r2:lx=1-a s y=-3-2 s ; z=4 s s in R.
Analise todas as possibilidades para a posição relativa entre essas retas. Determine as relações entre os números a e b para que as retas r1 e r2 sejam:
a. coincidentes,
b. paralelas,
c. concorrentes,
d. reversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas retas no espaço, r1 e r2 , cada uma com suas equações paramétricas. A questão pede para a gente analisar como essas retas se posicionam uma em relação à outra: se são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os vetores diretores de cada reta e ver como eles se relacionam. Além disso, vamos precisar trabalhar com os parâmetros a e b para encontrar as condições específicas para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Olhando as equações paramétricas:
Para [r_{1}):
Aqui, de é formado pelos coeficientes de nas equações:
Para :
Aqui, de é:

Passo 3

Agora, vamos ver quando as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos um do outro, ou seja, existe um número k tal que d1 = k d2 .
A equação será:
1 0 b = k -a -2 4
Isso nos dá o sistema:
1 = -a k 0 = -2 k b = 4 k
Da segunda equação, 0 = -2k implica que k = 0 . Mas se k = 0 , da primeira equação temos 1 = 0 , o que é impossível. Portanto, as retas não são paralelas a menos que reconsideremos os valores de a e b . Vamos explorar isso mais adiante.

Passo 4

Para as retas serem coincidentes, elas precisam ser paralelas e compartilhar pelo menos um ponto. Já vimos que para serem paralelas, precisariam satisfazer as condições anteriores, mas isso não é possível a não ser que [a) e ajustem de forma específica.
Vamos tentar encontrar um ponto comum. Tomando para , o ponto é . Queremos que esse ponto também pertença a .
Substituindo na equação de :
Resolvendo a terceira equação: (s = \frac{2}{4} = 0,5].
Verificando a segunda equação com :
ãé
Como não há um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, as retas não são coincidentes.

Passo 5

Vamos verificar agora quando as retas são concorrentes, ou seja, quando elas se cruzam em um único ponto. Isso ocorre se existe um par de parâmetros [t) e que satisfazem todas as equações das retas simultaneamente.
Igualando as componentes:
Da segunda equação:
Substituindo (s = 1] na primeira equação:
E na terceira equação:
Portanto, para que as retas sejam concorrentes, devemos ter:
Essa é a condição que relaciona e para as retas se cruzarem em um ponto.

Passo 6

Se as retas não são paralelas, não são coincidentes e não se cruzam, então elas são reversas, ou seja, retas que não estão ni paralelas nem se cruzam. Isso acontece quando os vetores diretores não são múltiplos e não há solução comum para as equações das retas.

Resposta

a. Retas coincidentes: Não existem valores de a e b que tornem r1 e r2 coincidentes.
b. Retas paralelas: Não existem valores de a e b que tornem r1 e r2 paralelas.
c. Retas concorrentes: As retas são concorrentes se b(-a - 2) = 2 .
d. Retas reversas: Para todos os demais valores de a e b , ou seja, quando b(-a - 2) neq 2 , as retas são reversas.

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