Verifique quais das matrizes seguintes são diagonalizáveis:
[rra & -b b & a]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = a & -b b & a
é diagonalizável. O conteúdo principal é diagonalização de matrizes reais: calcular polinômio característico, encontrar autovalores e checar se a dimensão de cada autovalor (multiplicidade geométrica) coincide com sua multiplicidade algébrica, tanto no corpo dos reais quanto no dos complexos.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Temos
det(A - lambda I) = deta-lambda & -b b & a-lambda = (a-lambda)^2 + b^2
Assim,
chiA(lambda)=(a-lambda)^2 + b^2 =0
é a equação que determina os autovalores.

Passo 3

Resolvendo (a-lambda)^2 + b^2=0 obtemos
lambda = a pm i,b
Logo, se bneq0 então os dois autovalores lambda1=a+ i,b e lambda2=a- i,b são distintos (no corpo dos complexos). Se b=0, reaparece o autovalor único lambda=a de multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Analisando a diagonalização sobre C:
  • Se bneq0, os autovalores em C são distintos, logo a matriz tem dois autovetores linearmente independentes e é diagonalizável.
  • Se b=0, então A=aI, que já é uma matriz escalar e, portanto, diagonalizável.
    Concluímos que sobre C a matriz A é diagonalizável para todo a,binR.

Passo 5

Analisando a diagonalização sobre R:
  • Se b=0, então A=aI é diagonal (já está na forma diagonal), logo diagonalizável.
  • Se bneq0, os autovalores são apm i,b, não pertencem a R, logo não há base real de autovetores e A não é diagonalizável sobre R.

Resposta

A matriz a & -b b & a é
– Sobre C: sempre diagonalizável (para todo a,b).
– Sobre R: diagonalizável se, e somente se, b=0.

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