Verifique quais das matrizes seguintes são diagonalizáveis:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é diagonalizável. O conteúdo principal é diagonalização de matrizes reais: calcular polinômio característico, encontrar autovalores e checar se a dimensão de cada autovalor (multiplicidade geométrica) coincide com sua multiplicidade algébrica, tanto no corpo dos reais quanto no dos complexos.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
. Temos
Assim,
é a equação que determina os autovalores.
Passo 3
Resolvendo
obtemos
Logo, se
então os dois autovalores
e
são distintos (no corpo dos complexos). Se
, reaparece o autovalor único
de multiplicidade algébrica
.
Passo 4
Analisando a diagonalização sobre
:
- Se
, os autovalores em são distintos, logo a matriz tem dois autovetores linearmente independentes e é diagonalizável. - Se
, então , que já é uma matriz escalar e, portanto, diagonalizável.
Concluímos que sobrea matriz é diagonalizável para todo .
Passo 5
Analisando a diagonalização sobre
:
- Se
, então é diagonal (já está na forma diagonal), logo diagonalizável. - Se
, os autovalores são , não pertencem a , logo não há base real de autovetores e não é diagonalizável sobre .
Resposta
A matriz
é
– Sobre : sempre diagonalizável (para todo
).
– Sobre : diagonalizável se, e somente se,
.
– Sobre
– Sobre