Em cada item, verifique se W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V :
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=4 y\right. e \left.z=0\right\}, V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x = 4y \text{ e } z = 0\}
do espaço vetorial V = \mathbb{R}^3. Para verificar se W é subespaço vetorial de V, vamos usar o critério padrão:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0). Como 0 = 4\cdot 0 e 0 = 0, temos (0,0,0)\in W. Então a condição de não‐vazio (contém o zero) está satisfeita.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Isso significa x_1=4y_1, z_1=0, x_2=4y_2 e z_2=0.
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) =(4y_1+4y_2,\;y_1+y_2,\;0+0) =(4(y_1+y_2),\;y_1+y_2,\;0).
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz x=4y e z=0, ou seja, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z)\in W com x=4y e z=0. Então
\alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha\cdot0) =(\alpha\cdot4y,\;\alpha y,\;0) =(4(\alpha y),\;\alpha y,\;0),
mostrando que \alpha\mathbf{u} também satisfaz as mesmas condições. Portanto \alpha\mathbf{u}\in W.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.

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