Exercício 3.28 Considere o espaço vetorial real \mathbb{R}^{2} e os seguinte subespaços
U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / y=3 x\right\} \quad \text { e } \quad W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / y=-2 x\right\}
Verifique se o seguinte subconjunto
U \cup W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} /(x, y) \in U \quad \text { ou } \quad(x, y) \in W\right\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
U\cup W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=3x\text{ ou }y=-2x\}
é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos lembrar que um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. \mathbf{0}\in V.
  2. Para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in V, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V.
  3. Para todo \mathbf{u}\in V e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\mathbf{u}\in V.

Passo 2

Note que \mathbf{0}=(0,0) pertence tanto a U (pois 0=3\cdot0) quanto a W (pois 0=-2\cdot0), logo \mathbf{0}\in U\cup W. O problema estará em fechar sob soma ou produto escalar.

Passo 3

Basta encontrar dois vetores em U\cup W cuja soma não esteja em U\cup W. Seja
\mathbf{u}=(1,3)\in U,\quad\mathbf{w}=(1,-2)\in W.
Então
\mathbf{u}+\mathbf{w}=(1+1,\;3+(-2))=(2,1).
Para que (2,1) estivesse em U\cup W, seria preciso ou 1=3\cdot2 (o que daria 1=6) ou 1=-2\cdot2 (o que daria 1=-4), ambas falsas.

Resposta

U\cup W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2, pois não é fechado sob adição.

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