Exercício 3.28 Considere o espaço vetorial real
e os seguinte subespaços
Verifique se o seguinte subconjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar que um subconjunto
é subespaço se, e somente se, satisfaz:
-
. - Para todo
, . - Para todo
e todo escalar , .
Passo 2
Note que
pertence tanto a
(pois
) quanto a
(pois
), logo
. O problema estará em fechar sob soma ou produto escalar.
Passo 3
Basta encontrar dois vetores em
cuja soma não esteja em
. Seja
Então
Para que
estivesse em
, seria preciso ou
(o que daria
) ou
(o que daria
), ambas falsas.