Exercício 3.27 Considere o subespaço
do espaço vetorial
dado por:
Determine um subespaço
do
tal que
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede um subespaço
de modo que
O conteúdo aqui é escolher um complemento direto: primeiro achar uma base de
e depois um
de dimensão 2 que intersecte
só em
.
Passo 2
Vamos resolver o sistema
Da primeira equação isolamos
. Substituindo na segunda:
Logo
Seja
. Então
onde fizemos
. Portanto
isto é,
.
Passo 3
Como
em
, um complemento direto
deve ter
e satisfazer
Uma escolha simples é
Passo 4
Verificações:
- Se
então existe tal que . Da terceira coordenada vem , logo o vetor é . Assim . - Dado
, escolha
Então
, mostrando que
.
Resposta
Uma escolha conveniente é
pois com isso
.