Exercício 3.27 Considere o subespaço V do espaço vetorial \mathbb{R}^{3} dado por:
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+2 y+z=0 \quad e \quad-x+3 y+2 z=0\right\},
Determine um subespaço W do \mathbb{R}^{3} tal que \mathbb{R}^{3}=V \oplus W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y+z=0\quad e\quad -x+3y+2z=0\}
e pede um subespaço W de modo que
\mathbb R^3 = V \oplus W.
O conteúdo aqui é escolher um complemento direto: primeiro achar uma base de V e depois um W de dimensão 2 que intersecte V só em 0.

Passo 2

Vamos resolver o sistema
\begin{cases} x + 2y + z = 0,\\\\ -\,x + 3y + 2z = 0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos x=-2y-z. Substituindo na segunda:
-(-2y-z)+3y+2z=0 \;\Longrightarrow\; 2y+z+3y+2z=0 \;\Longrightarrow\; 5y+3z=0 \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac{3}{5}z.
Logo
x = -2\Bigl(-\tfrac{3}{5}z\Bigr)-z = \tfrac{6}{5}z - z = \tfrac{1}{5}z.
Seja z=t. Então
(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{1}{5}t,\,-\tfrac{3}{5}t,\,t\Bigr) = t\Bigl(\tfrac15,\,-\tfrac35,\,1\Bigr) = s\,(1,-3,5),
onde fizemos s=t/5. Portanto
V = \mathrm{span}\{(1,-3,5)\},
isto é, \dim V=1.

Passo 3

Como \dim V=1 em \mathbb R^3, um complemento direto W deve ter \dim W=2 e satisfazer
V\cap W=\{0\}, \quad V+W=\mathbb R^3.
Uma escolha simples é
W = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb R\} =\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.

Passo 4

Verificações:
  1. Se (x,y,0)\in V\cap W então existe s tal que (x,y,0)=s(1,-3,5). Da terceira coordenada 0=5s vem s=0, logo o vetor é 0. Assim V\cap W=\{0\}.
  2. Dado (x,y,z)\in\mathbb R^3, escolha
s=\frac z5, \quad w=(x,y,z)-s(1,-3,5) =\Bigl(x-\tfrac z5,\;y+\tfrac{3z}5,\;0\Bigr)\in W.
Então (x,y,z)=s(1,-3,5)+w\in V+W, mostrando que V+W=\mathbb R^3.

Resposta

Uma escolha conveniente é
W=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb R\},
pois com isso \mathbb R^3=V\oplus W.

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