Em cada item, verifique se W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V :
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y=-x\right\}, V=\mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 e o conjunto
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = -x\}.
Queremos ver se W é um subespaço de V. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in W.
  2. Se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo está em W.
O vetor nulo em \mathbb{R}^2 é (0,0). Como em (0,0) temos 0 = -0, concluímos que (0,0)\in W.

Passo 3

Agora checamos a fechamento sob soma. Sejam
u=(x_1,y_1)\in W \quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2)\in W.
Pela definição de W, temos y_1 = -x_1 e y_2 = -x_2. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(x_1+x_2,\;-x_1 - x_2\bigr).
Note que o segundo componente de u+v é -(x_1+x_2), logo satisfaz a condição de W. Portanto u+v\in W.

Passo 4

Por fim, checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in W com y=-x. Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y) = (\alpha x,\;\alpha(-x)) = (\alpha x,\;-\,\alpha x),
que novamente satisfaz a regra y=-x. Logo \alpha u\in W.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^2.

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