Em cada item, verifique se W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V :
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y=3 z\right\}, V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x + 2y = 3z\}
é um subespaço vetorial de V = \mathbb{R}^3.
Para isso vamos checar três propriedades:
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo em x+2y=3z:
0 + 2\cdot0 = 3\cdot0
0 = 0
Logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Agora checamos a fechadura sob soma. Sejam
u = (u_1,u_2,u_3)\in W \quad\text{e}\quad v = (v_1,v_2,v_3)\in W,
ou seja
u_1 + 2u_2 = 3u_3 \quad\text{e}\quad v_1 + 2v_2 = 3v_3.
No vetor soma u+v = (u_1+v_1,\,u_2+v_2,\,u_3+v_3) temos
(u_1+v_1) + 2(u_2+v_2) = (u_1 + 2u_2) + (v_1 + 2v_2) = 3u_3 + 3v_3 = 3(u_3 + v_3),
portanto u+v também satisfaz a condição e fica em W.

Passo 4

Por fim, fechadura sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(u_1,u_2,u_3)\in W. Então
\alpha u = (\alpha u_1,\,\alpha u_2,\,\alpha u_3)
e
\alpha u_1 + 2(\alpha u_2) = \alpha\,(u_1 + 2u_2) = \alpha\,(3u_3) = 3(\alpha u_3),
logo \alpha u\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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