Em cada item, verifique se o teste da integral é aplicável e, em caso positivo, use-o para verificar se as séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n)^{2}}{1+n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^2(n)}{1+n^2}
verificar se o teste da integral é aplicável. Para aplicar esse teste, definimos
f(x) = \frac{\cos^2(x)}{1+x^2},
e precisamos checar se, para x\ge1, f é positiva, contínua e eventualmente decrescente. Só então poderemos comparar
\sum f(n) com \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.

Passo 2

Primeiro, note que para todo x\ge1 vale
\cos^2(x)\ge0 \quad\text{e}\quad 1+x^2>0,
logo f(x)\ge0. A função f também é contínua em [1,\infty), pois \cos^2(x) e 1+x^2 são contínuas e o denominador nunca zera.

Passo 3

O ponto crítico é a monotonicidade: \cos^2(x) oscila entre 0 e 1 infinitas vezes, fazendo com que f(x) também oscile e, portanto, não seja decrescente a partir de nenhum X_0. Como o teste da integral exige que f seja eventualmente decrescente, concluímos que não podemos aplicá-lo aqui.

Resposta

O teste da integral não é aplicável, pois f(x)=\tfrac{\cos^2(x)}{1+x^2} não é decrescente para x\ge1.

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