Em cada item, verifique se o teste da integral é aplicável e, em caso positivo, use-o para verificar se as séries convergem ou divergem.
.
Passo 1
O enunciado pede para a série
verificar se o teste da integral é aplicável. Para aplicar esse teste, definimos
e precisamos checar se, para
,
é positiva, contínua e eventualmente decrescente. Só então poderemos comparar
com
.
Passo 2
Primeiro, note que para todo
vale
logo
. A função
também é contínua em
, pois
e
são contínuas e o denominador nunca zera.
Passo 3
O ponto crítico é a monotonicidade:
oscila entre 0 e 1 infinitas vezes, fazendo com que
também oscile e, portanto, não seja decrescente a partir de nenhum
. Como o teste da integral exige que
seja eventualmente decrescente, concluímos que não podemos aplicá-lo aqui.
Resposta
O teste da integral não é aplicável, pois
não é decrescente para
.