Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^{2}}.
(a) Verifique que o teste da integral é aplicável e que a integral converge.
(b) Estime o erro entre s=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^{2}} a soma parcial s_{15}.
(c) Quantos termos precisamos somar para obter uma aproximação de s com precisão de 5 casas decimais?

Passo 1

Estamos lidando com a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}},
onde omitimos o termo n=1 porque \ln1=0 tornaria o termo indefinido. O conteúdo é o teste da integral para séries positivas e monótonas decrescentes, e também a estimativa de erro via esse teste.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},
para x\ge2. Verificamos que f(x)>0 e
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{-1}(\ln x)^{-2}\bigr] =-\frac{1}{x^{2}(\ln x)^{2}} -\frac{2}{x^{2}(\ln x)^{3}} <0 \quad\text{para }x\ge2,
logo f é decrescente. Assim, o teste da integral é aplicável.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}.
Fazendo a mudança u=\ln x, du=dx/x, obtemos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}} =\Bigl[-\,\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln2}^{\infty} =\frac{1}{\ln2}.
Como \tfrac1{\ln2}<\infty, a série converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, o resto
r_{N}= \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
satisfaz os limites
\int_{N+1}^{\infty}f(x)\,dx \;\le\;r_{N} \;\le\;\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx.
Mas
\int_{M}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\frac{1}{\ln M},
logo
\frac{1}{\ln(N+1)}\;\le\;r_{N}\;\le\;\frac{1}{\ln N}.

Passo 5

Para N=15, temos
\frac{1}{\ln16} \;\le\;s - s_{15}\;\le\;\frac{1}{\ln15},
isto é
\frac{1}{\ln16}\approx0,361 \quad\text{e}\quad \frac{1}{\ln15}\approx0,369.
Logo o erro entre s e s_{15} está em torno de 0,36.

Passo 6

Queremos r_{N}<10^{-5} para obter 5 casas decimais de precisão. Basta impor
\frac{1}{\ln N}\le10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad \ln N\ge10^{5} \quad\Longrightarrow\quad N\ge e^{10^{5}}.
Esse N é astronomicamente grande (aprox.\ 10^{43429}), mostrando que a convergência é extremamente lenta.

Resposta

(a) O teste da integral é aplicável porque f(x)=1/[x(\ln x)^{2}] é positiva e decrescente em [2,\infty), e
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln2}<\infty,
logo a série converge.
(b) O erro entre s e s_{15} satisfaz
\frac{1}{\ln16}\approx0,361\le s-s_{15}\le\frac{1}{\ln15}\approx0,369.
(c) Para garantir erro menor que 10^{-5}, precisamos de
N\ge e^{10^{5}}\approx10^{43429}
termos.

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