Considere a série
.
(a) Verifique que o teste da integral é aplicável e que a integral converge.
(b) Estime o erro entre
a soma parcial
.
(c) Quantos termos precisamos somar para obter uma aproximação de
com precisão de 5 casas decimais?
(a) Verifique que o teste da integral é aplicável e que a integral converge.
(b) Estime o erro entre
(c) Quantos termos precisamos somar para obter uma aproximação de
Passo 1
Estamos lidando com a série
onde omitimos o termo
porque
tornaria o termo indefinido. O conteúdo é o teste da integral para séries positivas e monótonas decrescentes, e também a estimativa de erro via esse teste.
Passo 2
Definimos a função
para
. Verificamos que
e
logo
é decrescente. Assim, o teste da integral é aplicável.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a mudança
,
, obtemos
Como
, a série converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, o resto
satisfaz os limites
Mas
logo
Passo 5
Para
, temos
isto é
Logo o erro entre
e
está em torno de
.
Passo 6
Queremos
para obter 5 casas decimais de precisão. Basta impor
Esse
é astronomicamente grande (aprox.\
), mostrando que a convergência é extremamente lenta.
Resposta
(a) O teste da integral é aplicável porque
é positiva e decrescente em
, e
logo a série converge.
(b) O erro entre e
satisfaz
(b) O erro entre
(c) Para garantir erro menor que
, precisamos de
termos.