Utilize os testes de comparação para verificar se as séries abaixo convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)\left(n^{2}-1\right)}{(n+1)\left(n^{2}+4\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{(2n-1)\,(n^2-1)}{(n+1)\,(n^2+4)^2}.
O conteúdo é o teste de comparação para séries de termos não negativos, e vamos mostrar que a_n é dominada por uma constante vezes 1/n^2, cuja série é convergente (p-série com p=2>1).

Passo 2

Para n\ge2 temos as estimativas no numerador:
2n-1 < 2n, \qquad n^2 - 1 < n^2.
Logo,
(2n-1)(n^2-1) < 2n \cdot n^2 = 2\,n^3.

Passo 3

Ainda para n\ge2, no denominador podemos usar
n+1 > n, \qquad n^2 + 4 > n^2,
portanto
(n+1)\,(n^2+4)^2 > n \cdot (n^2)^2 = n^5.
Com isso,
a_n = \frac{(2n-1)(n^2-1)}{(n+1)\,(n^2+4)^2} < \frac{2\,n^3}{n^5} = \frac{2}{n^2}.

Passo 4

Sabemos que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^2} = 2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}
é convergente (p-série com p=2). Como 0 \le a_n < 2/n^2 para todo n\ge2, o teste da comparação direta garante que
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge.

Resposta

A série converge.

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