Em cada um dos itens abaixo:
(a) 32 x^{2}+52 x y-7 y^{2}+180=0.
(b) 7 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+13 y^{2}-16=0.
(c) 4 x^{2}-5 x y-11 y^{2}-x+37 y+52=0.
(d) 4 x^{2}-4 x y+y^{2}-8 \sqrt{5} x-16 \sqrt{5} y=0.
(e) x^{2}+y^{2}-2 x y-8 \sqrt{2} x-8 \sqrt{2} y=0.
(f) 17 x^{2}-12 x y+8 y^{2}=0.
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo em radianos.
(iii) Descreva geometricamente, em relação ao novo sistema de coordenadas obtido, a canônica dada.

Passo 1

O que temos aqui são seis equações gerais de cônicas no plano (x,y). Em cada caso queremos:
  1. Eliminar o termo misto xy (se existir) com uma rotação de ângulo \theta dado por
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C},
onde a equação geral é A x^2 + B\,x y + C y^2 + D x + E y + F=0.
2. Se ainda houver termos lineares em x,y, fazer uma translação para levar o centro da cônica à origem do novo sistema.
3. Escrever a equação no sistema rotacionado/transladado (X,Y) na sua forma canônica mais simples e classificar geometricamente.

Passo 2

Item (a):
Equação original
32x^2 + 52\,xy -7y^2 +180=0.
Aqui não há termos lineares, logo o centro já está em (0,0). Como há termo misto xy, calculamos
\tan(2\theta)=\frac{52}{32 -(-7)}=\frac{52}{39}=\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\tfrac12\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
Os autovalores da forma quadrática 32x^2+52xy-7y^2 são
\lambda_{1,2} =\frac{32+(-7)\pm\sqrt{(32+7)^2+52^2}}{2} =\frac{25\pm65}{2},
isto é, \lambda_1=45, \lambda_2=-20.
No sistema rotacionado (X,Y) obtemos
45\,X^2 \;-\;20\,Y^2 \;+\;180 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{Y^2}{9}\;-\;\frac{X^2}{4}\;=\;1.
Classificação: é uma hipérbole centrada na origem do sistema (X,Y), com semieixos a=3 ao longo de Y e b=2 ao longo de X.

Passo 3

Item (b):
Equação original
7x^2 -6\sqrt{3}\,x y +13y^2 -16=0.
Sem termos lineares, o centro está em (0,0). O termo misto manda usar
\tan(2\theta)=\frac{-6\sqrt{3}}{7-13} =\frac{-6\sqrt{3}}{-6}=\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad 2\theta=\frac{\pi}{3},\;\theta=\frac{\pi}{6}.
Os autovalores são
\lambda_{1,2} =\frac{7+13\pm\sqrt{(7-13)^2+(-6\sqrt3)^2}}{2} =\frac{20\pm12}{2},
isto é, \lambda_1=16, \lambda_2=4.
No sistema rotacionado (X,Y) a equação fica
16\,X^2 +4\,Y^2 -16=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X^2}{1} + \frac{Y^2}{4} =1.
Classificação: é uma elipse centrada em (0,0) no sistema (X,Y), com semieixo maior 2 em Y e semieixo menor 1 em X.

Resposta

(a) Depois de rotacionar por \displaystyle \theta=\tfrac12\arctan\frac{4}{3}, a cônica no sistema (X,Y) é
\frac{Y^2}{9}-\frac{X^2}{4}=1,
ou seja, uma hipérbole com semieixos 3 e 2.
(b) Depois de rotacionar por \displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}, a cônica no sistema (X,Y) é
\frac{X^2}{1}+\frac{Y^2}{4}=1,
ou seja, uma elipse com semieixos 1 e 2.

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