Em cada um dos itens abaixo:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo em radianos.
(iii) Descreva geometricamente, em relação ao novo sistema de coordenadas obtido, a canônica dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo em radianos.
(iii) Descreva geometricamente, em relação ao novo sistema de coordenadas obtido, a canônica dada.
Passo 1
O que temos aqui são seis equações gerais de cônicas no plano
. Em cada caso queremos:
- Eliminar o termo misto
(se existir) com uma rotação de ângulo dado por
onde a equação geral é
.
2. Se ainda houver termos lineares em , fazer uma translação para levar o centro da cônica à origem do novo sistema.
3. Escrever a equação no sistema rotacionado/transladado na sua forma canônica mais simples e classificar geometricamente.
2. Se ainda houver termos lineares em
3. Escrever a equação no sistema rotacionado/transladado
Passo 2
Item (a):
Equação original
Equação original
Aqui não há termos lineares, logo o centro já está em
. Como há termo misto
, calculamos
Os autovalores da forma quadrática
são
isto é,
,
.
No sistema rotacionado obtemos
No sistema rotacionado
Classificação: é uma hipérbole centrada na origem do sistema
, com semieixos
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 3
Item (b):
Equação original
Equação original
Sem termos lineares, o centro está em
. O termo misto manda usar
Os autovalores são
isto é,
,
.
No sistema rotacionado a equação fica
No sistema rotacionado
Classificação: é uma elipse centrada em
no sistema
, com semieixo maior
em
e semieixo menor
em
.
Resposta
(a) Depois de rotacionar por
, a cônica no sistema
é
ou seja, uma hipérbole com semieixos
e
.
(b) Depois de rotacionar por
, a cônica no sistema
é
ou seja, uma elipse com semieixos
e
.