A Conchóide de Nicomedes é uma curva plana com duas componentes cuja construção apresentamos abaixo:
Fixe
. Sejam
uma reta NÃO vertical passando pela origem e
o ponto de interseção de
com a reta
. Sobre a reta
, marquemos os pontos
e
cuja distância ao ponto
é igual à
. Os pontos
e
assim obtidos definem duas curvas que são as componentes conexas da Conchoide de Nicomedes.
Parametrize as duas componentes desta importante curva plana.
Fixe
Parametrize as duas componentes desta importante curva plana.
Passo 1
O enunciado fala da Conchóide de Nicomedes, obtida fixando
e, para cada reta não vertical
que passa pela origem, marcando em
os pontos a distância
do ponto
, interseção de
com
. O objetivo é obter uma parametrização das duas componentes conexas dessa curva. Vamos usar aqui a parametrização de cada reta
por um ângulo
com o eixo
.
Passo 2
Escolhemos um ângulo
de modo que a reta
tenha equação polar
girada de
. Em coordenadas cartesianas,
é a reta que passa pela origem com vetor diretor
Passo 3
O ponto
é a interseção de
com a reta vertical
. Como ao andar em
até chegar a
temos
logo
Passo 4
O vetor unitário que aponta ao longo de
(tanto para frente quanto para trás) é
Para marcar distância
partindo de
, basta somar ou subtrair
.
Passo 5
Assim os dois pontos em
a distância
de
são
Passo 6
Reescrevendo componente a componente, obtemos as duas parametrizações
com
, que são exatamente as duas componentes conexas da Conchóide de Nicomedes.