A Conchóide de Nicomedes é uma curva plana com duas componentes cuja construção apresentamos abaixo:
Fixe 0<a<b \in \mathbb{R}. Sejam r uma reta NÃO vertical passando pela origem e A_{r} o ponto de interseção de r com a reta x=a. Sobre a reta r, marquemos os pontos P_{r} e Q_{r} cuja distância ao ponto A_{r} é igual à b. Os pontos P_{r} e Q_{r} assim obtidos definem duas curvas que são as componentes conexas da Conchoide de Nicomedes.
Parametrize as duas componentes desta importante curva plana.

Passo 1

O enunciado fala da Conchóide de Nicomedes, obtida fixando 0<a<b e, para cada reta não vertical r que passa pela origem, marcando em r os pontos a distância b do ponto A_r, interseção de r com x=a. O objetivo é obter uma parametrização das duas componentes conexas dessa curva. Vamos usar aqui a parametrização de cada reta r por um ângulo \theta com o eixo x.

Passo 2

Escolhemos um ângulo
\theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr),
de modo que a reta r tenha equação polar r(\varphi)=\varphi\mapsto(\cos\varphi,\sin\varphi) girada de \theta. Em coordenadas cartesianas, r é a reta que passa pela origem com vetor diretor
(\cos\theta,\sin\theta).

Passo 3

O ponto A_{r} é a interseção de r com a reta vertical x=a. Como ao andar em r até chegar a x=a temos
x = t\cos\theta = a \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{a}{\cos\theta},
logo
A_{r} =\Bigl(a,\;t\sin\theta\Bigr) =\Bigl(a,\;a\tan\theta\Bigr).

Passo 4

O vetor unitário que aponta ao longo de r (tanto para frente quanto para trás) é
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta).
Para marcar distância b partindo de A_{r}, basta somar ou subtrair b\,\mathbf{u}.

Passo 5

Assim os dois pontos em r a distância b de A_{r} são
P(\theta) = A_{r} + b\,\mathbf{u} =\bigl(a,\;a\tan\theta\bigr) + b\,(\cos\theta,\sin\theta),
Q(\theta) = A_{r} - b\,\mathbf{u} =\bigl(a,\;a\tan\theta\bigr) - b\,(\cos\theta,\sin\theta).

Passo 6

Reescrevendo componente a componente, obtemos as duas parametrizações
\gamma_{1}(\theta) = \bigl(x_{1}(\theta),\,y_{1}(\theta)\bigr) = \bigl(a + b\cos\theta,\;a\tan\theta + b\sin\theta\bigr),
\gamma_{2}(\theta) = \bigl(x_{2}(\theta),\,y_{2}(\theta)\bigr) = \bigl(a - b\cos\theta,\;a\tan\theta - b\sin\theta\bigr),
com \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), que são exatamente as duas componentes conexas da Conchóide de Nicomedes.

Resposta

\gamma_{1}(\theta) = \bigl(a + b\cos\theta,\;a\tan\theta + b\sin\theta\bigr), \quad \gamma_{2}(\theta) = \bigl(a - b\cos\theta,\;a\tan\theta - b\sin\theta\bigr), \quad \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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