Seja \mathcal{H} \subset \mathbb{E}^{3} a hipérbole contida no plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=1\right\}
com vértices V_{1}=(2,-1,0) e V_{2}=(1,0,0) e um dos focos no ponto F=(3,-2,0).
(a) Parametrize os dois ramos da hipérbole \mathcal{H}
(b) Determine o segundo foco de \mathcal{H}, seus eixos e assíntotas

Passo 1

O enunciado pede a parametrização dos dois ramos de uma hipérbole \mathcal{H} que vive no plano
\Pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=1\},
cujo vértices são
V_1=(2,-1,0),\quad V_2=(1,0,0),
e um dos focos é
F_1=(3,-2,0).
Vamos usar a geometria de cônicas: primeiro achamos o centro C, os parâmetros a, c e b (com c^2=a^2+b^2), depois definimos um sistema ortonormal \{u,v\} no plano para escrever a parametrização hiperbólica. Em seguida determinamos o segundo foco por simetria e, finalmente, encontramos os eixos e as assíntotas.

Passo 2

O centro C é o ponto médio de V_1V_2:
C=\frac{V_1+V_2}{2}=\Bigl(\tfrac{2+1}{2},\;\tfrac{-1+0}{2},\;0\Bigr)=\Bigl(\tfrac32,-\tfrac12,0\Bigr).
O semi-eixo transverso a é a metade da distância entre os vértices:
a=\bigl\|V_2-C\bigr\|=\bigl\|(1,0,0)-(\tfrac32,-\tfrac12,0)\bigr\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+\bigl(\tfrac12\bigr)^2} =\frac1{\sqrt2}.
A distância foco-centro é
c=\|F_1-C\| =\|(3,-2,0)-(\tfrac32,-\tfrac12,0)\| =\sqrt{(1{,}5)^2+(-1{,}5)^2} =\frac{3}{\sqrt2}.
Logo
b=\sqrt{c^2-a^2} =\sqrt{\frac{9}{2}-\frac{1}{2}} =2.

Passo 3

No plano x+y=1 podemos escolher um par ortonormal \{u,v\} tal que u aponte na direção dos vértices e v seja perpendicular a u. Por exemplo, dos vetores
V_1-C=(0{,}5,-0{,}5,0),\quad (0{,}5,0{,}5,0)
normalizamos e obtemos
u=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2},0\Bigr), \quad v=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2},0\Bigr).

Passo 4

Usamos a parametrização usual com funções hiperbólicas. Os dois ramos são dados por
r_+(t) =C + a\operatorname{cosh} t\,u + b\operatorname{sinh} t\,v, \quad r_-(t) =C - a\operatorname{cosh} t\,u + b\operatorname{sinh} t\,v,
com t\in\mathbb{R}. Como
a\,u=\Bigl(\tfrac12,-\tfrac12,0\Bigr), \quad b\,v=(\sqrt2,\sqrt2,0),
fica
r_+(t)=\Bigl(\tfrac32,-\tfrac12,0\Bigr) +\operatorname{cosh} t\Bigl(\tfrac12,-\tfrac12,0\Bigr) +\operatorname{sinh} t\,(\sqrt2,\sqrt2,0),
r_-(t)=\Bigl(\tfrac32,-\tfrac12,0\Bigr) -\operatorname{cosh} t\Bigl(\tfrac12,-\tfrac12,0\Bigr) +\operatorname{sinh} t\,(\sqrt2,\sqrt2,0).

Passo 5

O segundo foco F_2 é o simétrico de F_1 em relação a C:
F_2=2C - F_1 =\bigl(3,-1,0\bigr)-(3,-2,0) =(0,1,0).

Passo 6

Os eixos da hipérbole são as retas que passam por C nas direções u (transverso) e v (conjugado):
\text{Eixo transverso: }C+\lambda\,u,\quad \text{Eixo conjugado: }C+\mu\,v,\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
As assíntotas vêm do sistema y'=\pm\frac b a\,x' em coordenadas locais (x',y') ao longo de \{u,v\}. Como \tfrac b a=2\sqrt2, as direções são
u\pm\frac b a\,v =u\pm2\sqrt2\,v,
logo as assíntotas são as retas
C + t\bigl(u+2\sqrt2\,v\bigr), \quad C + t\bigl(u-2\sqrt2\,v\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Os dois ramos são
r_+(t) =\Bigl(\tfrac32,-\tfrac12,0\Bigr) +\operatorname{cosh} t\Bigl(\tfrac12,-\tfrac12,0\Bigr) +\operatorname{sinh} t\,(\sqrt2,\sqrt2,0),
r_-(t) =\Bigl(\tfrac32,-\tfrac12,0\Bigr) -\operatorname{cosh} t\Bigl(\tfrac12,-\tfrac12,0\Bigr) +\operatorname{sinh} t\,(\sqrt2,\sqrt2,0), \quad t\in\mathbb{R}.
(b)
Segundo foco: F_2=(0,1,0).
Eixo transverso: C+\lambda\,u com
\;C=(\tfrac32,-\tfrac12,0),
\;u=(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2},0).
Eixo conjugado: C+\mu\,v com
\;v=(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2},0).
Assíntotas:
C+t\bigl(u+2\sqrt2\,v\bigr), \quad C+t\bigl(u-2\sqrt2\,v\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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