Seja \mathcal{H} \subset \mathbb{E}^{3} a hipérbole contida no plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=1\right\}
com vértices V_{1}=(2,-1,0) e V_{2}=(1,0,0) e um dos focos no ponto F=(3,-2,0).
(a) Parametrize os dois ramos da hipérbole \mathcal{H}
(b) Determine o segundo foco de \mathcal{H}, seus eixos e assíntotas
Passo 1
O enunciado pede a parametrização dos dois ramos de uma hipérbole \mathcal{H} que vive no plano
\Pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=1\},
cujo vértices são
V_1=(2,-1,0),\quad V_2=(1,0,0),
e um dos focos é
F_1=(3,-2,0).
Vamos usar a geometria de cônicas: primeiro achamos o centro C, os parâmetros a, c e b (com c^2=a^2+b^2), depois definimos um sistema ortonormal \{u,v\} no plano para escrever a parametrização hiperbólica. Em seguida determinamos o segundo foco por simetria e, finalmente, encontramos os eixos e as assíntotas.
No plano x+y=1 podemos escolher um par ortonormal \{u,v\} tal que u aponte na direção dos vértices e v seja perpendicular a u. Por exemplo, dos vetores