Em cada um dos itens abaixo aplique o processo de Gram-Schmidt ao subconjunto
do espaço vetorial com produto interno
.
.
Passo 1
O enunciado pede pra aplicar o processo de Gram–Schmidt no conjunto de vetores
em
com o produto interno usual (o produto escalar). O conteúdo aqui é o método de Gram–Schmidt, que gera uma base ortogonal (e, se quisermos, ortonormal) a partir de um conjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Lembrando a fórmula de projeção de um vetor
em outro vetor
:
Definimos os vetores originais
e o primeiro vetor ortogonal pelo método:
Passo 3
Para obter
, subtraímos de
sua projeção sobre
:
Calculamos primeiro
Calculamos primeiro
Então
e
Passo 4
Para
, repetimos o procedimento tirando as projeções de
em
e em
:
Agora
Passo 5
Para ter uma base ortonormal, basta normalizar cada
. Calculamos as normas:
Os vetores unitários resultantes são:
Resposta
A base ortogonal obtida via Gram–Schmidt é
$$U=\left{(1,0,1),😭-\tfrac12,1,\tfrac12),😭\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac13)\right}.
$$