Em cada um dos itens abaixo aplique o processo de Gram-Schmidt ao subconjunto S do espaço vetorial com produto interno V.
V=R^3, S=(1,0,1),(0,1,1),(1,3,3).

Passo 1

O enunciado pede pra aplicar o processo de Gram–Schmidt no conjunto de vetores
S=(1,0,1),(0,1,1),(1,3,3) em R^3 com o produto interno usual (o produto escalar). O conteúdo aqui é o método de Gram–Schmidt, que gera uma base ortogonal (e, se quisermos, ortonormal) a partir de um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Lembrando a fórmula de projeção de um vetor v em outro vetor u:
proju(v)=lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
Definimos os vetores originais
v1=(1,0,1), v2=(0,1,1), v3=(1,3,3)
e o primeiro vetor ortogonal pelo método:
u1=v1=(1,0,1)

Passo 3

Para obter u2, subtraímos de v2 sua projeção sobre u1:
Calculamos primeiro
lang<= v2,u1rang<==(0,1,1)cdot(1,0,1)=0+0+1=1,
lang<= u1,u1rang<==(1,0,1)cdot(1,0,1)=1+0+1=2
Então
proju1(v2)=12(1,0,1)=(tfrac12,0,tfrac12)
e
u2=v2-proju1(v2)=(0,1,1)-(tfrac12,0,tfrac12)=(-tfrac12,1,tfrac12)

Passo 4

Para u3, repetimos o procedimento tirando as projeções de v3 em u1 e em u2:
lang<= v3,u1rang<==(1,3,3)cdot(1,0,1)=1+0+3=4,
proju1(v3)=42(1,0,1)=(2,0,2),
w:=v3-proju1(v3)=(1,3,3)-(2,0,2)=(-1,3,1),
Agora
lang<= w,u2rang<==(-1,3,1)cdot(-tfrac12,1,tfrac12)=tfrac12+3+tfrac12=4,
lang<= u2,u2rang<==(-tfrac12,1,tfrac12)cdot(-tfrac12,1,tfrac12)=tfrac14+1+tfrac14=tfrac32,
proju2(w)=43/2(-tfrac12,1,tfrac12)=tfrac83(-tfrac12,1,tfrac12)=(-tfrac43,tfrac83,tfrac43),
u3=w-proju2(w)=(-1,3,1)-(-tfrac43,tfrac83,tfrac43)=(tfrac13,tfrac13,-tfrac13)

Passo 5

Para ter uma base ortonormal, basta normalizar cada ui. Calculamos as normas:
|u1|=raiz2, |u2|=raiztfrac32=tfracraiz62, |u3|=raiztfrac13=tfrac1raiz3
Os vetores unitários resultantes são:
e1=u1|u1|=(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2),
e2=u2|u2|=(-tfrac1raiz6,tfrac2raiz6,tfrac1raiz6),
e3=u3|u3|=(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3)

Resposta

A base ortogonal obtida via Gram–Schmidt é
$$U=\left{(1,0,1),😭-\tfrac12,1,\tfrac12),😭\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac13)\right}.
U=(1,0,1),;(-tfrac12,1,tfrac12),;(tfrac13,tfrac13,-tfrac13) éE=\left{\bigl(\tfrac1{\sqrt2},0,\tfrac1{\sqrt2}\bigr),;\bigl(-\tfrac1{\sqrt6},\tfrac{2}{\sqrt6},\tfrac1{\sqrt6}\bigr),;\bigl(\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\bigr)\right}.
$$

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