Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de
expressas na base canônica, onde
é a dimensão da matriz quadrada,
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz A dada na base canônica, ou seja, resolver o problema de autovalores para A ∈ ℝ^{2×2}:
Vamos usar a definição de autovalor (det(A−λI)=0) e depois resolver (A−λI)x=0 para cada λ.
Passo 2
Primeiro, montamos o polinômio característico de A: det(A−λI) é dado por det
Passo 3
Expandindo e simplificando obtemos o polinômio em λ:
Logo, as raízes de p(λ)=0 fornecem os autovalores.
Passo 4
Resolvendo p(λ)=0 temos λ(λ−2)=0 que dá os autovalores λ=0 e λ=2. Agora, para cada λ, achamos os autovetores resolvendo (A−λI)x=0:
- Para λ=2: A−2I=
, a equação leva a x_2=x_1, ou seja, x é múltiplo de . - Para λ=0: A−0·I=A=
, a equação leva a x_1+ x_2=0, ou seja, x_2=−x_1, então x é múltiplo de .
Resposta
Os autovalores são
e
. Os autovetores correspondentes são, para
, qualquer múltiplo de
e, para
, qualquer múltiplo de
.