Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
ll1 & 1 1 & 1

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz A dada na base canônica, ou seja, resolver o problema de autovalores para A ∈ ℝ^{2×2}: A=1 & 1 1 & 1 Vamos usar a definição de autovalor (det(A−λI)=0) e depois resolver (A−λI)x=0 para cada λ.

Passo 2

Primeiro, montamos o polinômio característico de A: det(A−λI) é dado por det 1−λ & 1 1 & 1−λ= (1−λ)^2−1

Passo 3

Expandindo e simplificando obtemos o polinômio em λ:
p(λ)=(1−λ)^2−1=λ^2−2λ=λ(λ−2)
Logo, as raízes de p(λ)=0 fornecem os autovalores.

Passo 4

Resolvendo p(λ)=0 temos λ(λ−2)=0 que dá os autovalores λ=0 e λ=2. Agora, para cada λ, achamos os autovetores resolvendo (A−λI)x=0:
  • Para λ=2: A−2I= -1 & 11 & -1, a equação leva a x_2=x_1, ou seja, x é múltiplo de 11.
  • Para λ=0: A−0·I=A= 1 & 11 & 1, a equação leva a x_1+ x_2=0, ou seja, x_2=−x_1, então x é múltiplo de 1-1.

Resposta

Os autovalores são lambda1=2 e lambda2=0. Os autovetores correspondentes são, para lambda1=2, qualquer múltiplo de 11 e, para lambda2=0, qualquer múltiplo de 1-1.

Exercícios relacionados