Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de mathcalM(3,3). Justifique as suas respostas.
Matrizes triangulares 3 times 3

Passo 1

Temos o espaço vetorial M(3,3) com adição e multiplicação escalar usuais. Definimos o subconjunto
$$
S = {A \in \mathcal M(3,3) \mid A é matriz triangular}$$
Precisamos usar o critério de subespaço vetorial: (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob multiplicação escalar e (iii) ser fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero está em S. A matriz nula de ordem 3 é
0 = 0 & 0 & 00 & 0 & 00 & 0 & 0
evidentemente é triangular (superior e também inferior), logo 0 in S.

Passo 3

Analisamos a multiplicação por escalar. Se A é triangular, então para qualquer lambdain R,
lambda A
continua triangular, pois zero vezes lambda é zero. Logo S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Testamos a adição. Considere
A=0 & 1 & 00 & 0 & 00 & 0 & 0, B=0 & 0 & 01 & 0 & 00 & 0 & 0
Aqui A é triangular superior e B é triangular inferior, logo ambos estão em S. Mas
A+B=0 & 1 & 01 & 0 & 00 & 0 & 0
não é triangular (tem entradas não nulas acima e abaixo da diagonal). Portanto S não é fechado sob adição.

Passo 5

Como S falha na clausura por soma, concluímos que não é subespaço vetorial de M(3,3).

Resposta

O conjunto das matrizes triangulares 3×3 não é subespaço vetorial de M(3,3), pois não é fechado sob adição.

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