Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de . Justifique as suas respostas.
Matrizes triangulares
Passo 1
Temos o espaço vetorial com adição e multiplicação escalar usuais. Definimos o subconjunto
$$
S = {A \in \mathcal M(3,3) \mid A é matriz triangular}$$
Precisamos usar o critério de subespaço vetorial: (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob multiplicação escalar e (iii) ser fechado sob adição.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero está em . A matriz nula de ordem 3 é
evidentemente é triangular (superior e também inferior), logo 0 in S.
Passo 3
Analisamos a multiplicação por escalar. Se A é triangular, então para qualquer lambdain R,
lambda A
continua triangular, pois zero vezes lambda é zero. Logo S é fechado sob multiplicação escalar.