Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
llalpha & 0 0 & alpha

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A=α & 00 & α
em ℝ². O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores: vamos usar o cálculo do polinômio característico e a resolução de (A–λI)v=0.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(AλI)=detαλ & 00 & αλ=(αλ)^2
e igualamos a zero.

Passo 3

Resolvendo
(αλ)^2=0 implies λ=α
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para cada λ=α calculamos o espaço próprio resolvendo
(AαI)v=0 & 00 & 0v=0
Isso não impõe nenhuma condição sobre v além de v≠0, ou seja, todo vetor não nulo de ℝ² é autovetor associado a λ=α.

Resposta

O único autovalor é λ=α (multiplicidade 2) e o espaço próprio é todo ℝ²: qualquer vetor não nulo de ℝ² é autovetor correspondente.

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