Determine o ângulo entre u e v e a projeção de u na direção de v :
u=(-2,3,1) e v=(1,2,4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre u e v e também a projeção de u na direção de v. Vamos usar produto interno, normas de vetores e a fórmula de projeção.

Passo 2

Calcular o produto interno e as normas dos vetores:
ucdot v = (-2)cdot1 + 3cdot2 + 1cdot4 = 8, |u| = raiz(-2)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz14, |v| = raiz1^2 + 2^2 + 4^2 = raiz21

Passo 3

Determinar o ângulo usando a relação costheta = ucdot v|u|,|v|:
costheta = 8raiz14,raiz21 = 87raiz6, theta = arccos!l(87raiz6r) approx 62,1^circ

Passo 4

Calcular a projeção de u sobre v pela fórmula
projv(u) = ucdot vvcdot v,v,
sabendo que vcdot v = 21, temos
projv(u) = 821(1,2,4) = l(tfrac821,tfrac1621,tfrac3221r)

Resposta

O ângulo entre u e v é theta = arccosl(tfrac87raiz6r) approx 62,1^circ e a projeção de u na direção de v é projv(u) = (tfrac821,tfrac1621,tfrac3221).

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