Em cada um dos itens abaixo aplique o processo de Gram-Schmidt ao subconjunto S do espaço vetorial com produto interno V.
V=R^3, S=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Estamos em V=R^3 com o produto interno usual e queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto S=v1,v2,v3, onde
v1=(1,1,1), v2=(0,1,1), v3=(0,0,1)
O objetivo é construir vetores ortogonais ui e depois normalizá-los para obter uma base ortonormal e1,e2,e3.

Passo 2

Começamos pelo primeiro vetor. Definimos
u1=v1=(1,1,1)
A norma é
|u1|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3,
e então
e1=u1|u1|=1raiz3(1,1,1)

Passo 3

Para o segundo vetor, subtraímos a projeção de v2 sobre e1:
proje1(v2)=(v2cdot e1),e1,
com
v2cdot e1=0+1+1raiz3=2raiz3
Logo
proje1(v2)=2raiz3,e1=l(tfrac23,tfrac23,tfrac23r)
e
u2=v2-proje1(v2)=l(-tfrac23,tfrac13,tfrac13r)
A norma de u2 é
|u2|=raiztfrac49+tfrac19+tfrac19=raiz63
e
e2=u2|u2|=l(-tfrac2raiz6,tfrac1raiz6,tfrac1raiz6r)

Passo 4

Para o terceiro vetor, subtraímos projeções sobre e1 e e2:
proje1(v3)=(v3cdot e1)e1=(tfrac1raiz3)e1=(tfrac13,tfrac13,tfrac13),
proje2(v3)=(v3cdot e2)e2=(tfrac1raiz6)e2=l(-tfrac13,tfrac16,tfrac16r)
Então
u3=v3-proje1(v3)-proje2(v3)=(0,-tfrac12,tfrac12)
A norma de u3 é
|u3|=raiz0^2+tfrac14+tfrac14=1raiz2
e
e3=u3|u3|=(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)

Resposta

A base ortonormal obtida por Gram–Schmidt é
$$
e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1),\quad e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1).$$

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