Em cada um dos itens abaixo aplique o processo de Gram-Schmidt ao subconjunto
do espaço vetorial com produto interno
.
.
Passo 1
Estamos em
com o produto interno usual e queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto
, onde
O objetivo é construir vetores ortogonais
e depois normalizá-los para obter uma base ortonormal
.
Passo 2
Começamos pelo primeiro vetor. Definimos
A norma é
e então
Passo 3
Para o segundo vetor, subtraímos a projeção de
sobre
:
com
Logo
e
A norma de
é
e
Passo 4
Para o terceiro vetor, subtraímos projeções sobre
e
:
Então
A norma de
é
e
Resposta
A base ortonormal obtida por Gram–Schmidt é
$$
e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1),\quad e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1).$$