Determine o ângulo entre u e v e a projeção de u na direção de v :
u=(3,4) e v=(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores u=(3,4) e v=(1,0), e também a projeção de u sobre v. Vamos usar produto escalar, normas de vetores e a fórmula de projeção.

Passo 2

Calcular o produto escalar ucdot v usando a definição ucdot v = u1v1 + u2v2. Assim, ucdot v = 3cdot1 + 4cdot0 = 3.

Passo 3

Determinar as normas |u| e |v| usando |w| = raizw1^2 + w2^2. Então |u| = raiz3^2 + 4^2 = 5 e |v| = raiz1^2 + 0^2 = 1.

Passo 4

Aplicar a relação do cosseno cos(theta)=ucdot v|u|,|v|. Substituindo, cos(theta)=tfrac35, logo theta = arccos(tfrac35) approx 53,13^circ.

Passo 5

Usar a fórmula de projeção de u na direção de v:
projv(u) = ucdot vvcdot v,v
Como vcdot v =1 e ucdot v =3, vem
projv(u) = 3,(1,0) = (3,0)

Resposta

O ângulo entre u e v é aproximadamente 53,13^circ e a projeção de u na direção de v é o vetor (3,0).

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