Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
cc0 & -1 1 & 0

Passo 1

A matriz dada é A=0 & -11 & 0. O conteúdo é autovalores e autovetores e vamos precisar montar o polinômio característico de A, resolver para lambda e depois, para cada lambda, achar vneq0 tal que (A-lambda I)v=0.

Passo 2

O polinômio característico vem de det(A-lambda I)=0. Calculando:
A-lambda I=-lambda & -11 & -lambda
Então
det(A-lambda I)=(-lambda)(-lambda)-(-1)(1)=lambda^2+1=0

Passo 3

Da equação lambda^2+1=0 obtemos as raízes no conjunto dos complexos: lambda= i e lambda=-i. Como não há solução real, não há autovalores nem autovetores não-nulos em R^2.
Agora vamos estender para C^2. Para lambda=i, resolvemos (A-iI)v=0:
-i & -11 & -ixy=0

Passo 4

Da primeira linha -ix-y=0 segue y=-ix. Podemos escolher x=1, então um autovetor é v1=1-i.

Passo 5

Para lambda=-i, montamos (A+ iI)v=0:
i & -11 & ixy=0

Passo 6

Da primeira linha ix-y=0 segue y=ix. Tomando x=1, um autovetor é v2=1i.

Resposta

Em R^2 não há autovalores nem autovetores não‐nulos. Em C^2:
Autovalores: lambda1=i, lambda2=-i.
Autovetores correspondentes:
para lambda1=i: v1=1-i;
para lambda2=-i: v2=1i.

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