Resolva os problemas de valor inicial indicado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
Aqui reconhecemos uma equação de primeira ordem não exata, que vamos tratar encontrando um fator integrante dependente só de .
Aqui reconhecemos uma equação de primeira ordem não exata, que vamos tratar encontrando um fator integrante dependente só de
Passo 2
Escrevemos a equação na forma de diferencial total igual a zero:
Definimos
Passo 3
Para ver se há fator integrante
, calculamos
que depende só de
. Logo
Como queremos soluções com
(inicialmente
), usamos
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora definimos
Verifica-se que
e
, logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando essa expressão em
e igualando a
mostra que
, ou seja,
é constante.
Passo 6
A condição de exatidão implica
onde
é constante arbitrária. Podemos rearranjar multiplicando tudo por
:
com
.
Passo 7
Usamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Logo a solução implícita fica
Passo 8
Se quisermos
explicitamente (ramo positivo), escrevemos
e, tomando
,
Resposta
A solução implícita é
que, para a condição
e
, equivale a