Resolva os problemas de valor inicial indicado.
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=x y, \quad y(-1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)\,\frac{dx}{dy}=x\,y
com a condição inicial x(-1)=1.
Aqui reconhecemos uma equação de primeira ordem não exata, que vamos tratar encontrando um fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma de diferencial total igual a zero:
(x^{2}+2y^{2})\,dx - (x\,y)\,dy = 0.
Definimos
M(x,y)=x^{2}+2y^{2}, \qquad N(x,y)=-x\,y.

Passo 3

Para ver se há fator integrante \mu(x), calculamos
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{4y -(-y)}{-x\,y} =\frac{5y}{-x\,y} =-\frac{5}{x},
que depende só de x. Logo
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\frac{5}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-5\ln|x|) =|x|^{-5}.
Como queremos soluções com x>0 (inicialmente x(-1)=1), usamos \mu(x)=x^{-5}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^{-5}, obtendo
\Bigl(x^{-3}+2y^{2}x^{-5}\Bigr)\,dx \;-\; \bigl(y\,x^{-4}\bigr)\,dy = 0.
Agora definimos
\widetilde M(x,y)=x^{-3}+2y^{2}x^{-5}, \qquad \widetilde N(x,y)=-y\,x^{-4}.
Verifica-se que \partial\widetilde M/\partial y=4y\,x^{-5} e \partial\widetilde N/\partial x=4y\,x^{-5}, logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} =\widetilde M, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y} =\widetilde N.
Integramos \widetilde M em relação a x:
\varphi(x,y) =\int \bigl(x^{-3}+2y^{2}x^{-5}\bigr)\,dx =-\frac{1}{2}x^{-2} -\frac{y^{2}}{2}\,x^{-4} +H(y).
Derivando essa expressão em y e igualando a \widetilde N mostra que H'(y)=0, ou seja, H é constante.

Passo 6

A condição de exatidão implica
-\frac{1}{2}x^{-2} -\frac{y^{2}}{2}\,x^{-4} =C,
onde C é constante arbitrária. Podemos rearranjar multiplicando tudo por -2x^{4}:
x^{2}+y^{2}=K\,x^{4},
com K=-2C.

Passo 7

Usamos a condição inicial x(-1)=1. Substituindo y=-1, x=1:
1^{2}+(-1)^{2}=K\cdot 1^{4} \quad\Longrightarrow\quad 2=K.
Logo a solução implícita fica
x^{2}+y^{2}=2\,x^{4}.

Passo 8

Se quisermos x explicitamente (ramo positivo), escrevemos
2x^{4}-x^{2}-y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} =\frac{1+\sqrt{1+8y^{2}}}{4},
e, tomando x>0,
x(y) =\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{1+8y^{2}}}.

Resposta

A solução implícita é
x^{2}+y^{2}=2\,x^{4},
que, para a condição x(-1)=1 e x>0, equivale a
x(y)=\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{1+8y^{2}}}.

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