\int_{0}^{1}\left(2 x^{2}-x^{3}\right) d x=\frac{5}{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro encontramos uma antiderivada F(x) de f(x)=2x^{2}-x^{3}, depois avaliamos F(1)-F(0).

Passo 2

Para achar uma antiderivada F(x), tratamos cada termo separadamente:
\displaystyle \int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3}.
\displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Logo,
F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{x^{4}}{4}.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental, temos
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx = F(1) - F(0).
Calculando:
F(1) = \frac{2}{3}\cdot1^{3} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12},
F(0) = 0.
Portanto o valor da integral é \tfrac{5}{12}.

Resposta

\frac{5}{12}

Exercícios relacionados