Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral dupla \iint_{R} f(x, y) d x d y para as funções f e regiões R dadas:
f(x, y)=\frac{1}{x+y} e R é a região limitada pelas retas y= x, x=1, x=2 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla da função
f(x,y)=\frac{1}{x+y}
sobre a região R limitada pelas retas y=0, y=x, x=1 e x=2.
O conteúdo usado será integração iterada em coordenadas cartesianas e propriedade de logaritmos.

Passo 2

Descrevemos a região R no plano xy. Para cada x entre 1 e 2, o valor de y varia de 0 até x. Logo
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le2,\;0\le y\le x\}.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como iterada, integrando primeiro em y e depois em x:
\iint_{R}\frac{1}{x+y}\,dx\,dy =\int_{x=1}^{2}\Bigl(\int_{y=0}^{x}\frac{1}{x+y}\,dy\Bigr)dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y. Usamos \displaystyle\int\frac{1}{x+y}\,dy=\ln|x+y|:
\int_{0}^{x}\frac{1}{x+y}\,dy =\bigl[\ln(x+y)\bigr]_{y=0}^{y=x} =\ln(2x)-\ln(x) =\ln(2).

Passo 5

Com o resultado da integral interna constante ( \ln2), a integral externa fica
\int_{1}^{2}\ln(2)\,dx =\ln(2)\,\bigl[x\bigr]_{1}^{2} =\ln(2)\,(2-1) =\ln(2).

Resposta

\ln(2)

Exercícios relacionados