Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
(a) F=y sen x i+y^2 z j+(x+3 z) k; S a superfície da região limitada pelos planos x= pm 1, y= pm 1, z pm 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSFcdot n,dS
onde F=ysin x,i+y^2z,j+(x+3z),k e S é a superfície fechada do cubo definido por x=pm1, y=pm1, z=pm1.
Para superfícies fechadas, usamos o Teorema da Divergência de Gauss, que diz que esse fluxo é igual à integral de volume da divergência de F.

Passo 2

Calcular a divergência de F:
nablacdot F =partialpartial x(ysin x) +partialpartial y(y^2z) +partialpartial z(x+3z) =ycos x +2yz +3

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaV(nablacdot F),dV =integral triplaVl(ycos x +2yz +3r),dV,
onde V=[-1,1]times[-1,1]times[-1,1].

Passo 4

Separamos a integral em três partes:
  1. integral triplaVycos x,dV =integral-1^1cos x,dx;integral-1^1y,dy;integral-1^1dz = (2sin1)cdot 0cdot 2=0
  2. integral triplaV2yz,dV =2integral-1^1dx;integral-1^1y,dy;integral-1^1z,dz =2cdot2cdot0cdot0=0
  3. integral triplaV3,dV =3cdot Vol(V) =3cdot(2cdot2cdot2) =24
Somando os três termos, o fluxo total é 0+0+24=24.

Resposta

24

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