Exercício 26 - (IEZZI; MURAKAMI, 2006) Sejam as funções reais g e (f circ g) definidas por g(x)=2 x-3 e (f circ g)(x)=c4 x^2-6 x-1 , se x >= 1 4 x+3 , se x<1. Obtenha a lei que define f.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas funções reais:
O objetivo é descobrir a lei de (f].

Passo 2

Para “desfazer” o composto, primeiro invertemos g. Se
y=g(x)=2x-3,
então
x=y+32

Passo 3

Precisamos traduzir as condições em x para condições em y.
– A desigualdade x>=1 vira
y+32>=1 Long<=ftrightarrow y+3>=2 Long<=ftrightarrow y>=-1
– A desigualdade x<1 vira
y+32<1 Long<=ftrightarrow y< -1

Passo 4

Agora escrevemos f(y) usando as fórmulas de (fcirc g)(x), trocando x por tfracy+32.
  1. Para y>=-1,
f(y) =(fcirc g)l(xr) =4x^2-6x-1 com x=y+32
  1. Para y< -1,
f(y) =(fcirc g)l(xr) =4x+3 com x=y+32

Passo 5

Fazendo as contas em cada caso:
  1. Se y>=-1,
f(y) =4l(y+32r)^2 -6l(y+32r) -1 =(y+3)^2-3(y+3)-1 =y^2+3y-1
  1. Se y< -1,
f(y) =4cdoty+32+3 =2(y+3)+3 =2y+9

Resposta

f(y)= y^2+3y-1,&y>=-1, 2y+9,&y< -1

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