Em cada um dos itens abaixo calcule o posto e responda se a matriz é invertível. Em caso afirmativo, encontre a inversa.
A=[cccc-1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 1 -2 & -1 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede o posto de A e diz para verificar se A é invertível; caso seja, encontrar A^-1. Vamos usar eliminação de Gauss para levar A a uma forma escalonada, identificar quantos pivôs surgem (isto é o posto) e ver se há pivô em cada coluna para decidir invertibilidade.

Passo 2

Escrevemos A com linhas R1,dots,R4:
A= -1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 1 -2 & -1 & 1 & 2
Para facilitar o primeiro pivô, trocamos R1rightarrow R3:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 & 3 -2 & -1 & 1 & 2

Passo 3

Eliminamos entradas embaixo do pivô a11.
Para R3, fazemos R3>=ts R3+R1.
Para R4, fazemos R4>=ts R4+2,R1.
Obtemos
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 2 0 & 2 & 2 & 4 0 & 1 & 3 & 4

Passo 4

O pivô seguinte é a22=1 em R2. Eliminamos col 2 em R1,R3,R4:
R1>=ts R1-R2, R3>=ts R3-2,R2, R4>=ts R4-1,R2
Isso produz
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 2

Passo 5

Agora olhamos a terceira coluna: em R3 todos os coeficientes são zero, mas em R4 2neq0. Trocamos R3rightarrow R4 para escalar esse pivô:
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Dividindo R3 por 2 teríamos um terceiro pivô, e R4 fica totalmente nula. Assim aparecem exatamente três pivôs. Logo o posto de A é 3. Como o posto é menor que 4, não há pivô em toda coluna nem linha, então A não é invertível.

Resposta

O posto de A é 3.
A não é invertível, logo não existe A^-1.

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