Em cada um dos ítens abaixo marque v para verdaeiro e f para falso, justifique sua resposta.
A forma escalonada de uma matriz de ordem
, com
, sempre possui linha nula ( )
A forma escalonada de uma matriz de ordem
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao levar qualquer matriz
de ordem
(com
) à forma escalonada por linhas, sempre aparece pelo menos uma linha nula. O conteúdo aqui é entender a relação entre pivôs, posto (rank) da matriz e número de linhas.
Passo 2
Na forma escalonada por linhas cada linha não nula contém exatamente um pivô e cada pivô ocupa uma coluna distinta. Se denotarmos por
o posto de
, então há exatamente
pivôs e, consequentemente,
linhas não nulas na forma escalonada. Como todo pivô precisa de uma coluna, vale
Passo 3
Como a matriz tem
linhas no total e apenas
delas são não nulas na forma escalonada, o número de linhas nulas é
Mas de
segue
(pois
), logo
Isto mostra que sempre sobra pelo menos uma linha nula.
Resposta
v
A afirmação é verdadeira.
A afirmação é verdadeira.