Determine a solução geral desse sistema.
c 3 x+3 y-2 z-t=2 5 x+2 y+z-2 t=1 2 x-y+3 z-t=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de um sistema linear com três equações e quatro incógnitas (x,y,z,t). O conteúdo usado será álgebra linear elementar, mais precisamente eliminação de Gauss para encontrar relações entre as variáveis e identificar as variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, organizamos as equações isolando os termos em t no lado direito:
3x + 3y - 2z = 2 + t, 5x + 2y + z = 1 + 2t, 2x - y + 3z = -1 + t

Passo 3

Eliminamos x das duas últimas equações usando a primeira. Seja
A:;3x+3y-2z=2+t, B:;5x+2y+z=1+2t, C:;2x-y+3z=-1+t
Fazendo B - tfrac53A e C - tfrac23A obtemos em ambos os casos a mesma relação:
-9y + 13z = -7 + t

Passo 4

Dessa relação, isolamos y:
y = 13z +7 - t9

Passo 5

Substituímos este y na equação A para achar x. Em 3x = 2 + t -3y +2z temos
x = 2 + t -3l(tfrac13z+7-t9r) +2z3 = 4t - 7z -19

Passo 6

Como o sistema tem 4 incógnitas e somente 2 equações independentes, escolhemos z e t como parâmetros livres. A solução geral fica:
x = 4t -7z -19, y = -t +13z +79, z livre, t livre

Resposta

boxed x &= 4t -7z -19, y &= -t +13z +79, z &in R,; t in R

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