Considerando o sistema de equações
c x+y+4 z=2 x+2 y+7 z=3 3 x+y+a z=b
quais condições devem ser satisfeitas por a e b para que o sistema seja
Possível e indeterminado?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas
x + y + 4z = 2, x + 2y + 7z = 3, 3x + y + a z = b,
e pede as condições em a e b para que ele seja possível e indeterminado (isto é, tenha infinitas soluções).
Para isso usamos a teoria de sistemas lineares: um sistema 3times3 tem infinitas soluções se, e somente se, o posto da matriz de coeficientes A for menor que 3 (logo det(A)=0) e o posto da matriz ampliada for igual ao posto de A.

Passo 2

Vamos calcular det(A) como função de a. Seja
A = 1 & 1 & 4 1 & 2 & 7 3 & 1 & a
Então
det(A) =1cdotdet!2&71&a -1cdotdet!1&73&a +4cdotdet!1&23&1
=1,(2a-7);-;(1cdot a - 7cdot3);+;4,(1cdot1 - 2cdot3) =2a-7-(a-21)+4(-5) =a-6
Para ter posto menor que 3 precisamos de det(A)=0, logo
a-6=0 Longrightarrow a=6

Passo 3

Com
Escrevendo coordenada a coordenada:
Das duas primeiras tiramos , e a terceira fica , consistente com .
Agora, a mesma combinação deve valer para os termos independentes:

Resposta

As condições para o sistema ser possível e indeterminado são
a = 6 e b = 4

Exercícios relacionados