Em cada um dos itens abaixo calcule o posto e responda se a matriz é invertível. Em caso afirmativo, encontre a inversa.
A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o posto da matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ,
verificar se ela é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. Vamos usar o fato de que, para uma matriz quadrada de ordem n, ela é invertível se e somente se det(A)neq0, o que implica posto n. Em seguida calcularemos a inversa pelo método da matriz adjunta.

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =1cdot1 & 1 1 & 1 -0cdot0 & 1 1 & 1 +1cdot0 & 1 1 & 1 =1cdot(1-1)+1cdot(0-1)=-1
Como det(A)=-1neq0, concluímos que posto(A)=3 e que A é invertível.

Passo 3

Para obter A^-1, formamos a matriz dos cofatores C com Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor correspondente. Encontramos
C= 0 & 1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 1
A adjunta de A é adj(A)=C^T, mas neste caso C já é simétrica, logo
adj(A) = 0 & 1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 1

Passo 4

Usando a fórmula
A^-1=1det(A),adj(A) =-1cdot 0 & 1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 1 ,
obtemos
A^-1 = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1

Resposta

posto ,(A)=3.
A é invertível e
A^-1 = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1

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