Considerando o sistema de equações
c x+y+4 z=2 x+2 y+7 z=3 3 x+y+a z=b
quais condições devem ser satisfeitas por a e b para que o sistema seja
Possível e determinado?

Passo 1

Temos o sistema
x + y + 4z = 2, x + 2y + 7z = 3, 3x + y + a z = b,
e queremos que ele seja possível e determinado, ou seja, que tenha exatamente uma solução. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos usar o fato de que um sistema 3times3 tem solução única se, e somente se, a matriz de coeficientes for invertível, isto é, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 4 1 & 2 & 7 3 & 1 & a
e calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =1cdotdet2&71&a -1cdotdet1&73&a +4cdotdet1&23&1
Agora cada menor:
det2&71&a=2a-7, det1&73&a=a-21, det1&23&1=1-6=-5
Logo
det(A)=(2a-7)-l(a-21r)+4cdot(-5) =2a-7 -a+21 -20 =a-6

Passo 3

Para que o sistema tenha solução única, precisamos de
det(A)neq0 Longrightarrow a-6neq0 Longrightarrow aneq6
Não há nenhuma restrição sobre b: para qualquer valor de b, se aneq6 a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.

Resposta

O sistema é possível e determinado se, e somente se,
aneq6,
com b podendo ser qualquer número real.

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