Dados quaisquer conjuntos
e
, demonstre que
-
;
-
e
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui são quatro conjuntos quaisquer:
e
. A gente precisa provar duas coisas sobre interseções e subconjuntos:
-
se e somente se . - Se
e , então .
Para isso, vamos usar as definições básicas de interseção de conjuntos e de subconjunto. Vamos resolver passo a passo cada uma dessas afirmações.
Passo 2
Vamos começar pela primeira afirmação:
.
Primeiro, vamos entender o que significa
. A interseção
é o conjunto de elementos que estão tanto em
quanto em
. Se isso é igual a
, significa que todo elemento de
está também em
, ou seja,
está contido em
.
Formalmente:
- Se
, então para todo elemento , se , então , ou seja, . - Vice-versa, se
, então todo elemento de está em , então .
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação:
e
.
Aqui, temos que
está contido em
e
está contido em
. Queremos mostrar que a interseção de
e
está contida na interseção de
e
.
Vamos pensar assim:
- Se um elemento
está em , então está em e em . - Como
, também está em . - E como
, também está em . - Logo,
está em .
Portanto, todo elemento de
está em
, ou seja,
.
Resposta
Assim, provamos que:
-
se e somente se . - Se
e , então .