Dados quaisquer conjuntos A, B, C e D, demonstre que
  1. A cap B=A Leftrightarrow A subset B;
  2. A subset B e C subset D Rightarrow A cap C subset B cap D ;

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui são quatro conjuntos quaisquer: A, B, C e D . A gente precisa provar duas coisas sobre interseções e subconjuntos:
  1. A cap B = A se e somente se A subset B .
  2. Se A subset B e C subset D , então A cap C subset B cap D .
Para isso, vamos usar as definições básicas de interseção de conjuntos e de subconjunto. Vamos resolver passo a passo cada uma dessas afirmações.

Passo 2

Vamos começar pela primeira afirmação: A cap B = A Leftrightarrow A subset B .
Primeiro, vamos entender o que significa A cap B = A . A interseção A cap B é o conjunto de elementos que estão tanto em A quanto em B . Se isso é igual a A , significa que todo elemento de A está também em B , ou seja, A está contido em B .
Formalmente:
  • Se A cap B = A , então para todo elemento x , se x in A , então x in B , ou seja, A subset B .
  • Vice-versa, se A subset B , então todo elemento de A está em B , então A cap B = A .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação: A subset B e C subset D Rightarrow A cap C subset B cap D .
Aqui, temos que A está contido em B e C está contido em D . Queremos mostrar que a interseção de A e C está contida na interseção de B e D .
Vamos pensar assim:
  • Se um elemento x está em A cap C , então x está em A e em C .
  • Como A subset B , x também está em B .
  • E como C subset D , x também está em D .
  • Logo, x está em B cap D .
Portanto, todo elemento de A cap C está em B cap D , ou seja, A cap C subset B cap D .

Resposta

Assim, provamos que:
  1. A cap B = A se e somente se A subset B .
  2. Se A subset B e C subset D , então A cap C subset B cap D .

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