Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left( cc-2 & 1 1 & -2\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
x' = A,x,
once
A = -2 & 1 [6pt] 1 & -2
O conteúdo que vamos usar é a teoria de autovalores e autovetores: primeiro achamos os autovalores de A pela equação característica, depois os autovetores, e por fim montamos a solução geral como combinação linear de e^lambda tv.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!-2-lambda & 1 [3pt] 1 & -2-lambda = (-2-lambda)^2 - 1
Igualando a zero:
(-2-lambda)^2 - 1 = 0 implies (lambda+2)^2 = 1 implies lambda+2 = pm1
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lambda1 = -1, lambda2 = -3
]

Passo 3

Para lambda1=-1, resolvemos (A - (-1)I)v=0, isto é (A+I)v=0:
(A+I) = -1 & 1 [3pt] 1 & -1,
da equação -v1 + v2 = 0 segue v1=v2. Um autovetor correspondente é
v^(1) = 1 [3pt] 1
]

Passo 4

Para lambda2=-3, resolvemos (A - (-3)I)v=0, isto é (A+3I)v=0:
(A+3I) = 1 & 1 [3pt] 1 & 1,
da equação v1 + v2 = 0 segue v2 = -v1. Um autovetor correspondente é
v^(2) = 1 [3pt] -1
]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais e^lambda tv:
x(t) = C1,e^-1t1 [3pt] 1 + C2,e^-3t1 [3pt] -1,
once C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
]

Resposta

x(t) = C1,e^-t1 [3pt] 1 + C2,e^-3t1 [3pt] -1
]

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