Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left(\right) x
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais
Isso é um sistema linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
Para resolver, a gente vai usar o método de autovalores e autovetores da matriz .]
Passo 2
Primeiro, a gente calcula o polinômio característico de .
Lembra que pra isso fazemos
onde é a matriz identidade .
Aqui
]
Passo 3
Agora o determinante:
Vamos expandir:
então
Igualando a zero, obtemos os autovalores
Passo 4
Para cada [\lambda) achamos um autovetor tal que .
:
Dessa primeira equação vem , então .
Um autovetor é
:
Isso dá .
Escolhemos , então .
Um autovetor é
Como são independentes, podemos formar a solução geral.]
Passo 5
A teoria diz que, com dois autovalores distintos e vetores independentes, a solução geral é
x(t) = C1,v^(1),e^lambda1 t + C2,v^(2),e^lambda2 t