Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left( ll4 & -3 8 & -6\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais
x' ;=; A,x, A = 4 & -3 [6pt] 8 & -6
Isso é um sistema linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
Para resolver, a gente vai usar o método de autovalores e autovetores da matriz A.]

Passo 2

Primeiro, a gente calcula o polinômio característico de A.
Lembra que pra isso fazemos
det(A - lambda I) ;=; 0,
onde I é a matriz identidade 2times2.
Aqui
A - lambda I =4-lambda & -3 [4pt] 8 & -6-lambda
]

Passo 3

Agora o determinante:
det(A - lambda I) =(4-lambda)(-6-lambda) - (8)(-3)
Vamos expandir:
(4-lambda)(-6-lambda) = -24 -4lambda +6lambda +lambda^2 = lambda^2 +2lambda -24,
então
det(A - lambda I) = (lambda^2 +2lambda -24) +24 = lambda^2 +2lambda = lambda(lambda +2)
Igualando a zero, obtemos os autovalores
lambda1 = 0, lambda2 = -2

Passo 4

Para cada [\lambda) achamos um autovetor tal que .
  1. :
Dessa primeira equação vem , então .
Um autovetor é
  1. :
Isso dá .
Escolhemos , então .
Um autovetor é
Como são independentes, podemos formar a solução geral.]

Passo 5

A teoria diz que, com dois autovalores distintos e vetores independentes, a solução geral é
x(t) = C1,v^(1),e^lambda1 t + C2,v^(2),e^lambda2 t
Substituindo:
x(t) = C1 34e^0cdot t + C2 12e^-2t = C1 34 + C2 e^-2t12

Resposta

boxed x(t) = C1 34 + C2,e^-2t12, C1,C2inR

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